數學建模十大算法漫談

作者:July 二零一一年一月二十九日

本文參考：
I、 細數二十世紀最偉大的十大算法 [譯者：本人July]
II、 本BLOG內 經典算法研究系列
III、維基百科

------------------------------------------

博主說明:
1、此數學建模十大算法依據網上的一份榜單而寫，本文對此十大算法作一一簡單介紹。
這只是一份榜單而已，數學建模中還有很多的算法，未一一囊括。歡迎讀者提供更多的好的算法。
2、在具體闡述每一算法的應用時，除了列出常見的應用之外，
同時，還會具體結合數學建模競賽一一闡述。
畢竟，此十大算法，在數學建模競賽中有著無比廣泛而重要的應用。
且，凡是標著“某某年某國某題”，即是那一年某個國家的數學建模競賽原題。
3

一、蒙特卡羅算法
1946年，美國拉斯阿莫斯國家實驗室的三位科學家John von Neumann,Stan Ulam 和Nick Metropolis共同發明了，蒙特卡羅方法。

此算法被評為20世紀最偉大的十大算法之一，詳情，請參見我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

蒙特卡羅方法（Monte Carlo method），又稱隨機抽樣或統計模擬方法，是一種以概率統計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法。此方法使用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。

由於傳統的經驗方法由於不能逼近真實的物理過程，很難得到滿意的結果，而蒙特卡羅方法由於能夠真實地模擬實際物理過程，故解決問題與實際非常符合，可以得到很圓滿的結果。

蒙特卡羅方法的基本原理及思想如下：
當所求解問題是某種隨機事件出現的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，通過某種“實驗”的方法，以這種事件出現的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數字特征，並將其作為問題的解。

有一個例子可以使你比較直觀地了解蒙特卡洛方法：
假設我們要計算一個不規則圖形的面積，那麽圖形的不規則程度和分析性計算（比如，積分）的復雜程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎麽計算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均勻地朝這個圖形上撒，然後數這個圖形之中有多少顆豆子，這個豆子的數目就是圖形的面積。當你的豆子越小，撒的越多的時候，結果就越精確。
在這裏我們要假定豆子都在一個平面上，相互之間沒有重疊。

蒙特卡羅方法通過抓住事物運動的幾何數量和幾何特征，利用數學方法來加以模擬，即進行一種數字模擬實驗。它是以一個概率模型為基礎，按照這個模型所描繪的過程，通過模擬實驗的結果，作為問題的近似解。

蒙特卡羅方法與一般計算方法有很大區別，一般計算方法對於解決多維或因素復雜的問題非常困難，而蒙特卡羅方法對於解決這方面的問題卻比較簡單。其特點如下：
I、 直接追蹤粒子，物理思路清晰，易於理解。
II、 采用隨機抽樣的方法，較真切的模擬粒子輸運的過程，反映了統計漲落的規律。
III、不受系統多維、多因素等復雜性的限制，是解決復雜系統粒子輸運問題的好方法。
等等。

此算法，日後還會在本BLOG 內詳細闡述。

二、數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法
我們通常會遇到大量的數據需要處理， 而處理數據的關鍵就在於這些算法，通常使用Matlab作為工具。數據擬合在數學建模比賽中中有應用，與圖形處理有關的問題很多與擬合有關系，一個例子就是98年數學建模美國賽A題，生物組織切片的三維插值處理，94年A題逢山開路，山體海拔高度的插值計算，還有吵的沸沸揚揚可能會考的“非典”問題也要用到數據擬合算法，觀察數據的走向進行處理。

此類問題在 MATLAB 中有很多現成的函數可以調用，熟悉MATLAB，這些方法都能遊刃有余的用好。

三、線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題
數學建模競賽中很多問題都和數學規劃有關，可以說不少的模型都可以歸結為一組不等式作為約束條件、幾個函數表達式作為目標函數的問題，遇到這類問題，求解就是關鍵了，比如98年B題，用很多不等式完全可以把問題刻畫清楚，因此列舉出規劃後用 Lindo 、 Lingo 等軟件來進行解決比較方便，所以還需要熟悉這兩個軟件。

四、圖論算法
這類問題算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等問題。

關於此類圖論算法，可參考Introduction to Algorithms--算法導論，關於圖算法的第22章-第26章。同時，本BLOG內經典算法研究系列，對Dijkstra算法有所簡單描述，
-----------
經典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

更多，請關註本BLOG 日後更新的博文。

五、動態規劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法
在數學建模競賽中，如:92 年B題用分枝定界法， 97年B題是典型的動態規劃問題，此外 98 年 B 題體現了分治算法。

這方面問題和 ACM 程序設計競賽中的問題類似，
推薦看一下算法導論，與《計算機算法設計與分析》（電子工業出版社）等與計算機算法有關的書。

六、最優化理論的三大經典算法：模擬退火法、神經網絡、遺傳算法
這十幾年來最優化理論有了飛速發展，模擬退火法、神經網絡、遺傳算法這三類算法發展很快。

在數學建模競賽中：比如97年A題的模擬退火算法,00年B題的神經網絡分類算法，01年B題這種難題也可以使用神經網絡，還有美國競賽89年A題也和 BP 算法有關系，當時是86年剛提出BP算法，89年就考了，說明賽題可能是當今前沿科技的抽象體現。 03 年 B 題伽馬刀問題也是目前研究的課題，目前算法最佳的是遺傳算法。

另，本人對人工智能非常感興趣，遺傳算法已在本BLOG內有所闡述，敬請參見。
----------
經典算法研究系列：七、深入淺出遺傳算法，透析GA本質
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx

其它倆大算法，模擬退火法，與神經網絡，也定會在本BLOG內日後的博文更新中，詳細闡述。

七、網格算法和窮舉法
網格算法和窮舉法一樣，只是網格法是連續問題的窮舉。
比如要求在 N 個變量情況下的最優化問題，那麽對這些變量可取的空間進行采點，
比如在 [ a; b ] 區間內取 M +1 個點，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

那麽這樣循環就需要進行 ( M + 1) N 次運算，所以計算量很大。

在數學建模競賽中：比如 97 年 A 題、 99 年 B 題都可以用網格法搜索，這種方法最好在運算速度較快的計算機中進行，還有要用高級語言來做，最好不要用 MATLAB 做網格，否則會算很久。 窮舉法大家都熟悉，自不用多說了。

八、一些連續離散化方法
大部分物理問題的編程解決，都和這種方法有一定的聯系。物理問題是反映我們生活在一個連續的世界中，計算機只能處理離散的量，所以需要對連續量進行離散處理。

這種方法應用很廣，而且和上面的很多算法有關。
事實上，網格算法、蒙特卡羅算法、模擬退火都用了這個思想。

九、數值分析算法
數值分析（numerical analysis），是數學的一個分支，主要研究連續數學（區別於離散數學）問題的算法。

如果在比賽中采用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常用的算法比 如方程組求解、矩陣運算、函數積分等算法就需要額外編寫庫函數進行調用。

這類算法是針對高級語言而專門設的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必準備，因為像數值分析中有很多函數一般的數學軟件是具備的。

十、圖象處理算法
在數學建模競賽中：比如01 年 A 題中需要你會讀 BMP 圖象、美國賽 98 年 A 題需要你知道三維插值計算， 03 年 B 題要求更高，不但需要編程計算還要進行處理，而數模論文中也有很多圖片需要展示，因此圖象處理就是關鍵。做好這類問題，重要的是把MATLAB 學好，特別是圖象處理的部分。

此數學建模十大算法的程序源碼打包，請於此處下載：
http://download.csdn.net/source/3007336

本人對算法，尤其感興趣，且日漸愈濃，
日後，更多的、好的、經典實用算法將會在本BLOG內有所詳細而細致入微的闡述與深入研究。
完。

作者聲明：
本人July對本博客所有任何文章、內容和資料享有版權，
轉載請註明作者本人July及出處。謝謝。二零一一年一月二十九日。

再分享一下我老師大神的人工智能教程吧。零基礎！通俗易懂！風趣幽默！還帶黃段子！希望你也加入到我們人工智能的隊伍中來！https://blog.csdn.net/jiangjunshow

數學建模十大經典算法漫談