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協方差矩陣的向量表示推導

阿新 • • 發佈：2019-02-17

多維隨機變數的協方差矩陣

對多維隨機變數X=[X1,X2,…,Xn]T，我們往往需要計算各維度之間的協方差，這樣協方差就組成了一個n×n的矩陣，稱為協方差矩陣。協方差矩陣是一個對角矩陣，對角線上的元素是各維度上隨機變數的方差。 我們定義協方差為Σ, 矩陣內的元素Σij為

Σij=cov(Xi,Xj)=E[(Xi−E(Xi))(Xj−E(Xj))]
協方差矩陣為
Σ=E[(X−E(X))(X−E(X))T]
=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢cov(X1,X1)cov(X2,X1)⋮cov(Xn,X1)cov(X1,X2)cov(X2,X2)⋮cov(Xn,X2,)⋯⋯⋮⋯cov(X1,Xn)cov(X
2,Xn)⋮cov(Xn,Xn)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

樣本的協方差矩陣

與上面的協方差矩陣相同，只是矩陣內各元素以樣本的協方差替換。假設資料集T={xi}mi=1表示m個樣本， 每個樣本表示為xi=(xi1,xi2,…,xin)T 。所有樣本可以組成一個m×n的矩陣。

Xm×n=⎡⎣⎢⎢⎢⎢x11x21⋮xm1x12x22⋮xm2⋯⋯⋮⋯x1nx2n⋮xmn⎤⎦⎥⎥⎥⎥=[c1,c2,…,cn]
每一行代表一個物件，每一類代表一個維度，協方差矩陣，是求維度之間的相關性，而不是物件之間的，所以協方差矩陣的大小與維度相同。ci表示第i維的隨機變數。
假設x¯=(<

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