題目大意

有一個\(n*m\)（\(n,m\leq10^9\)）的網格，每個格子是空地或障礙（\(障礙數\leq10^5\)）
定義兩塊空地連通，當且僅當它們是“相鄰的兩塊空地”或“存在一塊空地與這兩塊空地連通的兩塊空地”（也就是四連通）
求至少添加多少塊障礙物，使存在兩塊空地不連通，或者輸出-1表示無解

題解

當只有一塊空地或只有兩塊相鄰的空地時，無解
有解時，發現總能找到一個角落，使只用兩個障礙物就能將這個角落和外界分開（如圖）

也就是說，答案不超過2
當初始的障礙物已經將空地分成多個連通塊時，答案為0
當存在一個點，把該點刪去後空地會變成多個空地連通塊時（割點），答案為1
以上兩種都沒有，答案為2
如果n*m比較小的話，就可以直接將每塊空地與它上下左右的空地連邊，判連通性，tarjan找割點
但是n,m都比較大，存不下，考慮上一種建圖法中有哪些點是不必要的
連通性：
發現如果存在兩個點不連通，那麽一定存在兩個不連通的點是被一個障礙物連通塊隔開的
也就是說，可以通過判斷“是否存在一個障礙物連通塊，與它相鄰的所有空地中，存在兩塊空地不連通”來判斷整個圖是否連通
具體地，先找出所有障礙物連通塊，只把所有與這個連通塊相鄰（八連通）的空地互相連邊，判斷連通性
割點：
發現當網格的寬度不為1時，割點一定會與障礙相鄰(1)
將不與障礙相鄰的點刪去後，剩下的點才可能成為割點，將這些點組成的圖稱為“圖1”
但是這樣建圖後，會發現圖中的割點可能會和它周圍的沒被加入圖的空地相鄰，導致它不是割點
那麽就把與圖1中的點相鄰且不是障礙的點加入，得到圖2，求圖2是否有割點
根據(1)，後加入的點在原圖中一定不是割點，所以通過判斷圖2是否存在一個割點在圖1中來判斷原圖是否有割點

代碼

#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iomanip>
#include<iostream>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#define rep(i,x,y) for(register int i=(x);i<=(y);++i)
#define dwn(i,x,y) for(register int i=(x);i>=(y);--i)
#define view(u,k) for(int k=fir[u];k!=-1;k=nxt[k])
#define view2(u,k) for(int k=fir2[u];k!=-1;k=nxt2[k])
#define maxn 100010
#define maxnd 2500010
#define LL long long
#define maxm (maxnd<<2)
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!=‘-‘)ch=getchar();
    if(ch==‘-‘)f=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘,ch=getchar();
    return x*f;
}
void write(int x)
{
    if(x==0){putchar(‘0‘),putchar(‘\n‘);return;}
    int f=0;char ch[20];
    if(x<0)putchar(‘-‘),x=-x;
    while(x)ch[++f]=x%10+‘0‘,x/=10;
    while(f)putchar(ch[f--]);
    putchar(‘\n‘);
    return;
}
int t,n,m,c,qx[maxn],qy[maxn],tim,cnts,cntnd,pos[maxnd],sop[maxnd],sop2[maxnd],maxy;
int fir[maxnd],nxt[maxm],v[maxm],cnte,dfn[maxnd],low[maxnd],fa[maxnd],yes,stk[maxnd],tp;
int fir2[maxn],nxt2[maxn<<2],v2[maxn<<2],cnte2,cntnd2,vis2[maxn],vis[maxnd];
struct seq{int x,y,ad;}a[maxnd],b[maxn];
map<int,int>lft,up;
void ade(int u1,int v1){v[cnte]=v1,nxt[cnte]=fir[u1],fir[u1]=cnte++;}
void ade2(int u1,int v1){v2[cnte2]=v1,nxt2[cnte2]=fir2[u1],fir2[u1]=cnte2++;} 
bool cmp1(seq x,seq y){return x.y==y.y?(x.x==y.x?x.ad<y.ad:x.x<y.x):x.y<y.y;}
int f(int x){return fa[x]<0?x:fa[x]=f(fa[x]);}
void merge(int x,int y){x=f(x),y=f(y);if(x==y)return;fa[x]+=fa[y],fa[y]=x;}
void tar(int u,int fa)
{
    int in=0;
    dfn[u]=low[u]=++tim;
    view(u,k)
    {
        if(!dfn[v[k]])
        {
            tar(v[k],fa);
            if(yes)return;
            low[u]=min(low[u],low[v[k]]);
            if(low[v[k]]>=dfn[u]&&u!=fa&&a[sop[u]].ad==1){yes=1;return;}
            if(u==fa)in++;
        }
        low[u]=min(low[u],dfn[v[k]]);
    }
    if(u==fa&&in>=2&&a[sop[u]].ad==1){yes=1;return;}
}
int getr(int x,int y)
{
    int l=1,r=cnts,ans=0;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(a[mid].x==x&&a[mid].y==y)ans=max(ans,mid),l=mid+1;
        else if(a[mid].y<y||(a[mid].y==y&&a[mid].x<x))l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    return ans;
}
void getstk(int u)
{
    vis2[u]=1;
    int liml=max(1,a[sop2[u]].x-1),limr=min(n,a[sop2[u]].x+1),limd=max(1,a[sop2[u]].y-1),limu=min(m,a[sop2[u]].y+1);
    rep(i,liml,limr)
        rep(j,limd,limu)
        {
            int tmp=pos[getr(i,j)];
            if(tmp&&!vis[tmp])stk[++tp]=tmp,vis[tmp]=1;
        }
    view2(u,k)if(!vis2[v2[k]])getstk(v2[k]);
    return;
}
int jug()
{
    int res=1;
    rep(i,1,cntnd2)
    {
        tp=0;
        if(!vis2[i])
        {
            getstk(i);
            rep(j,1,tp)vis[stk[j]]=0;
            rep(j,2,tp)if(f(stk[j])!=f(stk[1])){res=0;break;}
            if(!res)break;
        }
    }
    return res;
}
int main()
{
    t=read();
    while(t--)
    {
        n=read(),m=read(),c=read();cntnd=tim=cnts=cnte=yes=maxy=cntnd2=cnte2=0;
        rep(i,1,c*25)fir[i]=fa[i]=-1,dfn[i]=sop[i]=pos[i]=0;lft.clear(),up.clear();
        rep(i,1,c)
        {
            qx[i]=read(),qy[i]=read(),fir2[i]=-1,sop2[i]=vis2[i]=0;
            int liml=max(1,qx[i]-2),limr=min(n,qx[i]+2),limd=max(1,qy[i]-2),limu=min(m,qy[i]+2);
            rep(j,liml,limr)
                rep(k,limd,limu)
                {
                    a[++cnts].x=j,a[cnts].y=k,a[cnts].ad=min(2-abs(j-qx[i]),2-abs(k-qy[i]));
                }
        }
        sort(a+1,a+cnts+1,cmp1);
        int now=0;
        rep(i,1,cnts)
        {
            if(i==cnts||(a[i].x!=a[i+1].x||a[i].y!=a[i+1].y))
            {
                if(a[i].ad==2)
                {
                    int t1=up[a[i].y],t2=lft[a[i].x];cntnd2++;
                    up[a[i].y]=-cntnd2;lft[a[i].x]=-cntnd2;sop2[cntnd2]=i;
                    if(t1<0&&a[sop2[-t1]].x==a[i].x-1)ade2(-t1,cntnd2),ade2(cntnd2,-t1);
                    if(t2<0&&a[sop2[-t2]].y==a[i].y-1)ade2(-t2,cntnd2),ade2(cntnd2,-t2);
                    continue;
                }
                cntnd++;sop[cntnd]=i,pos[i]=cntnd;
                int t1=up[a[i].y],t2=lft[a[i].x];up[a[i].y]=cntnd;lft[a[i].x]=cntnd;
                if(t1>0)ade(t1,cntnd),ade(cntnd,t1),merge(t1,cntnd);
                if(t2>0)ade(t2,cntnd),ade(cntnd,t2),merge(t2,cntnd);
            }
        }
        int yeslink=jug();
        if((LL)n*(LL)m<=2)write(-1);
        else if(c==0)write(min(n,m)==1?1:2);
        else if(cntnd==0)write(-1); 
        else if(!yeslink)write(0);
        else if((LL)n*(LL)m-(LL)c<=2ll)write(-1);
        else if(min(n,m)==1)write(1); 
        else
        {
            rep(i,1,cntnd){if(!dfn[i])tar(i,i);if(yes)break;}
            if(yes)write(1);
            else write(2);
        }
    }
    return 0;
}
 

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