0/1揹包問題（遞迴解決，遞推解決）
0-1揹包問題：
有N件物品和一個容量為V的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
這個問題的特點是：每種物品只有一件，可以選擇放或者不放。
輸入格式：V,NW1,V1W2,V2......輸出格式： X
幫助理解：
比如01揹包問題。
/* 一個旅行者有一個最多能用M公斤的揹包，現在有N件物品，它們的重量分別是W1，W2，...,Wn,它們的價值分別為P1,P2,...,Pn.若每種物品只有一件求旅行者能獲得最大總價值。輸入格式：M,NW1,P1W2,P2......輸出格式： X */
因為揹包最大容量M未知。所以，我們的程式要從1到M一個一個的試。比如，開始任選N件物品的一個。看對應M的揹包，能不能放進去，如果能放進去，並且還有多的空間，則，多出來的空間裡能放N-1物品中的最大價值。怎麼能保證總選擇是最大價值呢？看下錶。
c[i][j]陣列儲存了1,2,3號物品依次選擇後的最大價值.
這個最大價值是怎麼得來的呢?從揹包容量為0開始,1號物品先試,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,揹包容量為3則裡面放4.這樣,這一排揹包容量為4,5,6,....10的時候，最佳方案都是放4.假如1號物品放入揹包.則再看2號物品.當揹包容量為3的時候，最佳方案還是上一排的最價方案c為4.而揹包容量為5的時候，則最佳方案為自己的重量5.揹包容量為7的時候，很顯然是5加上一個值了。加誰??很顯然是7-4=3的時候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。總的最佳方案是5+4為9.這樣.一排一排推下去。最右下放的資料就是最大的價值了。(注意第3排的揹包容量為7的時候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.說明這時候3號物品沒有被選.選的是1,2號物品.所以得9.)
從以上最大價值的構造過程中可以看出。
f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}
遞迴解決：（主要思考下面的遞迴公式是否能包含所有情況）
揹包問題具有最優子結構，令f(n,C)代表，有n個待選物品，揹包容量為C時的最優解，此時物品選擇向量為y=[y1,y2,…yn], 那麼當yn=1時，y’=[y1, y2, …yn-1],必然為f(n-1, C-wn)的物品選擇向量，當yn=0時，必然為f(n-1,C)的最優物品選擇向量。所以揹包問題可以由動態規劃來求解。
根據上面的分析，我們可以得到如下的遞迴式:
當wn>C時， f(n,C)=f(n+
當wn<=C時，f(n，C) = max(f(n+1,C), vn+f(n+1, C-wn) );//f(n+1,C)當前物品沒有選擇，vn+f(n+1, C-wn)選擇了當前物品
初始條件為：f(i, 0) = 0; f(0,i) = 0; f(0,0) = 0;
說明：如果理解不動，可以參考下面動態規劃實現中的那個圖仔細想想
import java.util.Scanner;
//遞迴解決的揹包問題
public class BeiBao01DG {
private static int rl;//揹包容量
private static int num;//物品個數
private static int[] w;//物品重量（重量和價值一下標相關聯）
private static int[] v;//物品價值
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner sc=new Scanner(System.in);
rl=sc.nextInt();
num=sc.nextInt();
w=new int[num];
v=new int[num];
for(int i=0;i<num;i++)
{
w[i]=sc.nextInt();
v[i]=sc.nextInt();
}
System.out.println(f(0,rl));
}
//cur（0---num-1）代表物品編號， max代表從第一個物品到現在的物品揹包還剩下的空間
public static int f(int cur,int max)
{
if(cur==num)//物品已經嘗試完
return 0;
if(max<=0)//揹包已經裝滿，沒有容量了
return 0;
if(max<w[cur])//揹包容量小於該商品的重量
return f(cur+1,max);
else
{
return Math.max(f(cur+1,max), f(cur+1,max-w[cur])+v[cur]);
}
}
}
注意：此處物品可以隨便輸入，不用排序，結果沒有影響，遞迴是拿著揹包容量向下推的，動態規劃已知前面的推出後面的，需要找狀態轉換公式，也就是根據遞迴公式來得到狀態轉換公式
擴充套件問題：
輸出哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大？？？
動態規劃解決：
演算法基本思想：
利用動態規劃思想 ，子問題為：f[i][v]表示前i件物品恰放入一個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。
其狀態轉移方程是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} //這個方程非常重要，基本上所有跟揹包相關的問題的方程都是由它衍生出來的。
解釋一下上面的方程：“將前i件物品放入容量為v的揹包中”這個子問題，如果只考慮第i件物品放或者不放，那麼就可以轉化為只涉及前i-1件物品的問題，即1、如果不放第i件物品，則問題轉化為“前i-1件物品放入容量為v的揹包中”；2、如果放第i件物品，則問題轉化為“前i-1件物品放入剩下的容量為v-c[i]的揹包中”(此時能獲得的最大價值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i])。則f[i][v]的值就是1、2中最大的那個值。
（注意：f[i][v]有意義當且僅當存在一個前i件物品的子集，其費用總和為v。所以按照這個方程遞推完畢後，最終的答案並不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。）
優化空間複雜度：
以上方法的時間和空間複雜度均為O(N*V)，其中時間複雜度基本已經不能再優化了，但空間複雜度卻可以優化到O(V)。
上面f[i][v]使用二維陣列儲存的，可以優化為一維陣列f[v]，將主迴圈改為：
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
即將第二層迴圈改為從V..0，逆序。
解釋一下：
假設最大容量M=10，物品個數N=3，物品大小w{3,4,5}，物品價值p{4,5,6}。
當進行第i次迴圈時，f[v]中儲存的是上次迴圈產生的結果，即第i-1次迴圈的結果(i>=1)。所以f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}這個式子中，等號右邊的f[v]和f[v-c[i]]+w[i]都是前一次迴圈產生的值。
當i=1時，f[0..10]初始值都為0。所以
f[10]=max{f[10],f[10-c[1]]+w[1]}=max{0,f[7]+4}=max{0,0+4}=4;
f[9]=max{f[9],f[9-c[1]]+w[1]}=max{0,f[6]+4}=max{0,0+4}=4;
......
f[3]=max{f[3],f[3-c[1]]+w[1]}=max{0,f[3]+4}=max{0,0+4}=4;
f[2]=max{f[2],f[2-c[1]]+w[1]}=max{0,f[2-3]+4}=0;//陣列越界？
f[1]=0;
f[0]=0;
當i=2時，此時f[0..10]經過上次迴圈後，都已經被重新賦值，即f[0..2]=0,f[3..10]=4。利用f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}這個公式計算i=2時的f[0..10]的值。
當i=3時同理。
具體的值如下表所示：
因此，利用逆序迴圈就可以保證在計算f[v]時，公式f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}中等號右邊的f[v]和f[v-c[i]]+w[i]儲存的是f[i-1][v]和f[i -1][v-c[i]]的值。
當i=N時，得到的f[V]即為要求的最優值。
初始化的細節問題：
在求最優解的揹包問題中，一般有兩種不同的問法：1、要求“恰好裝滿揹包”時的最優解；2、求小於等於揹包容量的最優解，即不一定恰好裝滿揹包。
這兩種問法，在初始化的時候是不同的。
1、要求“恰好裝滿揹包”時的最優解：
在初始化時除了f[0]為0其它f[1..V]均設為-∞，這樣就可以保證最終得到的f[N]是一種恰好裝滿揹包的最優解。如果不能恰好滿足揹包容量，即不能得到f[V]的最優值，則此時f[V]=-∞，這樣就能表示沒有找到恰好滿足揹包容量的最優值。
2、求小於等於揹包容量的最優解，即不一定恰好裝滿揹包：
如果並沒有要求必須把揹包裝滿，而是隻希望價值儘量大，初始化時應該將f[0..V]全部設為0。
總結
01揹包問題是最基本的揹包問題，它包含了揹包問題中設計狀態、方程的最基本思想，另外，別的型別的揹包問題往往也可以轉換成01揹包問題求解。故一定要仔細體會上面基本思路的得出方法，狀態轉移方程的意義，以及最後怎樣優化的空間複雜度。
0-1揹包問題程式碼：
程式碼1
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; const int MIN=0x80000000; const int N=3; //物品數量const int V=5; //揹包容量int f[N+1][V+1]; int Package(int *W,int *C,int N,int V); void main(int argc,char *argv[]) { int W[4]={0,7,5,8}; //物品權重 int C[4]={0,2,3,4}; //物品大小 int result=Package(W,C,N,V); if(result>0) { cout<<endl; cout<<"the opt value:"<<result<<endl; int i=N,j=V; while(i) { if(f[i][j]==(f[i-1][j-C[i]]+W[i])) { cout<<i<<":"<<"w="<<W[i]<<",c="<<C[i]<<endl; j-=C[i]; } i--; } } else cout<<"can not find the opt value"<<endl; return; } int Package(int *W,int *C,int N,int V) { int i,j; memset(f,0,sizeof(f)); //初始化為0 for(i=0;i<=N;i++) for(j=1;j<=V;j++) //此步驟是解決是否恰好滿足揹包容量， f[i][j]=MIN; //若“恰好”滿足揹包容量，即正好裝滿揹包，則加上此步驟，若不需要“恰好”，則初始化為0 for(i=1;i<=N;i++) for(j=C[i];j<=V;j++) { f[i][j]=(f[i-1][j]>f[i-1][j-C[i]]+W[i])?f[i-1][j]:(f[i-1][j-C[i]]+W[i]); cout<<"f["<<i<<"]["<<j<<"]="<<f[i][j]<<endl; } return f[N][V]; }
程式碼2
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; const int MIN=0x80000000; const int N=3; //物品數量const int V=5; //揹包容量int f[V+1]; int Package(int *W,int *C,int N,int V); void main(int argc,char *argv[]) { int W[4]={0,7,5,8}; //物品權重 int C[4]={0,2,3,4}; //物品大小 int result=Package(W,C,N,V); if(result>0) { cout<<endl; cout<<"the opt value:"<<result<<endl; } else cout<<"can not find the opt value"<<endl; return; } int Package(int *W,int *C,int N,int V) { int i,j; memset(f,0,sizeof(f)); //初始化為0 for(i=1;i<=V;i++) //此步驟是解決是否恰好滿足揹包容量， f[i]=MIN; //若“恰好”滿足揹包容量，即正好裝滿揹包，則加上此步驟，若不需要“恰好”，則初始化為0 for(i=1;i<=N;i++) for(j=V;j>=C[i];j--) //注意此處與解法一是順序不同的，弄清原因 { f[j]=(f[j]>f[j-C[i]]+W[i])?f[j]:(f[j-C[i]]+W[i]); cout<<"f["<<i<<"]["<<j<<"]="<<f[j]<<endl; } return f[V]; }
參考網站：http://www.cnblogs.com/justinzhang/archive/2012/04/10/2441199.html