Fast Fourier Transformation FFT 

快速傅立葉變換 ——一種演算法

它是解決DFT的

Discrete Fourier transform DFT 

離散傅立葉變換 ——一種過程

 我不知道fft具體是怎麼做的，我會通過下面這幾個例子來告訴你fft是做什麼的；

你可以理解為就是在Θ(nlogn)O（nlogn）的時間算出兩個多項式相乘。

多項式乘法

A*B=C

A = a0 + a1 x^1 + a2 x^2 + a（n-1） x^（n-1）

B = b0 + ...

C = c0 + ... +c(n-1) x^(n-1) + cn x^n + ... +c(2n-1) x^(2n-1)

我模擬一下 就是 A，B分別存在一個數組裡，i次項的係數j存在a[i]裡面，（a[i] = j）,比如 A：a[0] = a0, a[1] = a1, b[0] = b1;

然後就可以在O（nlogn）的時間算出C；c[0] = a0+b0........

下面看具體經典題目

一： hdu 1402 求大數乘法(O（nlogn）).

就是裸的fft ，一般的高精度乘法複雜度是O（n^2）.

先用fft求出每位的值，在進位，具體看程式碼註釋；

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

// 這一大坨fft的程式碼實現不要動的
const double PI = acos(-1.0);
struct Complex {
    double x, y;
    Complex(double _x = 0.0, double _y = 0.0) {
        x = _x;
        y = _y;
    }
    Complex operator - (const Complex &b)const {
        return Complex(x-b.x, y-b.y);
    }
    Complex operator + (const Complex &b)const {
        return Complex(x+b.x, y+b.y);
    }
    Complex operator * (const Complex &b)const {
        return Complex(x*b.x-y*b.y, x*b.y+y*b.x);
    }
};

void change(Complex y[], int len) {
    int i, j, k;
    for(i = 1, j = len/2; i < len-1; i++) {
        if (i < j) swap(y[i], y[j]);
        k = len/2;
        while(j >= k) {
            j -= k;
            k /= 2;
        }
        if (j < k) j += k;
    }
}

void fft(Complex y[], int len, int on) {
    change(y, len);
    for(int h = 2; h <= len; h <<= 1) {
        Complex wn(cos(-on*2*PI/h), sin(-on*2*PI/h));
        for(int j = 0; j < len; j += h) {
            Complex w(1, 0);
            for(int k = j; k < j+h/2; k++) {
                Complex u = y[k];
                Complex t = w*y[k+h/2];
                y[k] = u+t;
                y[k+h/2] = u-t;
                w = w*wn;
            }
        }
    }
    if (on == -1)
        for(int i = 0; i < len; i++)
        y[i].x /= len;
}
//到這裡
//下面這些陣列的大小不是亂開的，下面會講
const int MAXN = 50002;
LL num[MAXN<<2];//儲存結果的陣列，要開4*MAXN
Complex x1[MAXN<<2], x2[MAXN<<2];//模板裡需要的陣列，也要開4*MAXN
char str1[MAXN], str2[MAXN];

int main() {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    while (scanf("%s%s", str1, str2) == 2) {
        int ls1 = strlen(str1), ls2 = strlen(str2);
        int len = 1;
        //下面也是模板，別問為什麼就是這樣的
        while (len < 2*ls1 || len < 2*ls2) len <<= 1;//上面陣列的大小是因為這裡
        int i;
        for(i = 0; i < ls1; i++) {
            x1[i] = Complex(str1[ls1-i-1]-'0', 0);
        }
        for(; i < len; i++)
            x1[i] = Complex(0, 0);
        fft(x1, len, 1);
        for(i = 0; i < ls2; i++) {
            x2[i] = Complex(str2[ls2-i-1]-'0', 0);
        }
        for(; i < len; i++)
            x2[i] = Complex(0, 0);
        fft(x2, len, 1);
        for(i = 0; i < len; i++)
            x1[i] = x1[i]*x2[i];
        fft(x1, len, -1);
        for(i = 0; i < len; i++) {
            num[i] = (LL)(x1[i].x+0.5);
        }
        //到這裡num裡面儲存的就是結果
        for(i = 0; i < len; i++) { //進位
            num[i+1] += num[i]/10;
            num[i] %= 10;
        }
        len = ls1+ls2-1;
        while(num[len] <= 0 && len > 0) len--;//去前置零；
        for(i = len; i >= 0; i--)
            printf("%I64d", num[i]);
        puts("");
    }
    return 0;
}
 

題意：一個機器人打高爾夫只往一個方向打，每次只能打固定的距離，求最多兩杆能打進的洞的個數；差不多可以理解為一個數列相加；

題解：利用fft演算法的特點，ax * by 放在 c的第 x+y位； x，y就是那些固定的距離，x+y就是可以打進的洞；還不懂的話具體看程式碼；

程式碼：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

/*
這裡省略了fft
*/
const int MAXN = 400002;//注意陣列大小
LL num[MAXN*2];
int a[MAXN/2];
Complex x1[MAXN*2];
int m, n;

int main() {
    scanf("%d", &n);
    int len1 = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", a+i);
        num[a[i]] = 1; //這裡賦值為一就好了
        len1 = max(len1, a[i]+1);//找到最大值就是len1
    }
    num[0] = 1;//這裡要賦值為1，求出1杆可以打進的洞
    //下面就是套路了
    int len = 1;
    while (len < 2*len1) len <<= 1;
    for(int i = 0; i < len1; i++)
        x1[i] = Complex(num[i], 0);
    for(int i = len1; i < len; i++)
        x1[i] = Complex(0, 0);
    fft(x1, len, 1);
    for(int i = 0; i < len; i++)
        x1[i] = x1[i]*x1[i];
    fft(x1, len, -1);
    for(int i = 0; i < len; i++) {
        num[i] = (LL)(x1[i].x+0.5);
    }
    
    scanf("%d", &m);
    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int t;
        scanf("%d", &t);
        if (num[t])//這裡寫起來就比較簡單了
            res++;
    }
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}
 

題意： 給出一些邊的長度，求任取3條邊可以形成三角形的概率；

題解： 用古典概型；求出可以形成三角形的個數再除以總個數；