題目

思路

本題的基本思路是明確的，用d(i,p)表示經過i天之後，資產組合為p時的現金的最大值。
另外值得注意的是，本題在考慮買股票時要考慮到當前擁有的現金是否足夠，因此不是一個DAG最長/最短路問題，因為某些邊u->v的存在性依賴於起點到點u的最短路值。也就是說，本題不能像之前的DAG問題一樣“反著定義”：如果用d(i,p)表示資產組合為p，從第i天開始到最後能擁有的現金最大值，會發現狀態根本無法轉移。這個點跟價值不變換的烹調方案有類似。


本題的重點就落在了p的表示方式上面。
首先應該知道的是，p是一個九元組，p[i]表示第i只股票持有的手數。並且由於存在最大持有股票手數k（k最大為8），所以p的數量不是

程式碼

九進位制整數表示。（會TLE）
對程式碼中，變數的解釋：
c：初始資金；m：天數；n：股數；kk：最大總持股手數。
name[i]：第i股的名字；s[i]：第i股一手有多少股；k[i]：第i股最大持有手數。
price[i][j]：第i只股，第j天每手股的股價。
d[i][p]：第i天，資產情況為p，的最大剩餘資金。
opt[i][p]：第i天，資產情況為p，這天執行的動作。
myprev[i][p]：第i天，資產情況為p，這天還沒有執行任何動作時的資產情況。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
#define _for(i,a,b) for(int i = (a); i<(b); i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i = (a); i<=(b); i++)
using namespace std;

const double INF = 1e30;
const int maxn = 8;
const int maxm = 100 + 5;

// 本題變數含義詳見csdn blog
map<int, double
 
> d[maxm];  // d採用map形式的原因是：完全d[][]會佔用過多記憶體，實際用不到這麼多d
map<int, int> opt[maxm], myprev[maxm];
int m, n, s[maxn], k[maxn], kk;
double c, price[maxn][maxm];
char name[maxn][10];

// 九元組程式碼編碼函式
int encode(int *portfolio) {
    int h = 0;
    _for(i, 0, n) h = h * 9 + portfolio[i];
    return h;
}

// 九元組程式碼解碼函式，h為程式碼，portfolio為解碼後陣列，返回值為總股票手數
int decode(int h, int *portfolio){
    int totlot = 0;
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        portfolio[i] = h % 9;
        totlot += portfolio[i];
        h /= 9;
    }
    return totlot;
}

// update為記錄函式，每當創造一個新的d值時，可以再次處記錄，o為動作
void update(int oldh, int day, int h, double v, int o) {
    if (d[day].count(h) == 0 || v > d[day][h]) {
        d[day][h] = v;
        opt[day][h] = o;
        myprev[day][h] = oldh;
    }
}

double dp() {
    int portfolio[maxn];  // 九元組
    d[0][0] = c;
    _for(day, 0, m) {
        for (map<int, double>::iterator iter = d[day].begin(); iter != d[day].end(); ++iter) {
            int h = iter->first;  // 九元組程式碼
            double v = iter->second;  // 剩餘資金
            int totlot = decode(h, portfolio);

            update(h, day + 1, h, v, 0);  // HOLD
            _for(i, 0, n) {
                if (portfolio[i] < k[i] && totlot < kk && v >= price[i][day] - 1e-3) {  // 目的未知的精度處理
                    portfolio[i]++;
                    update(h, day + 1, encode(portfolio), v - price[i][day], i + 1);  // BUY
                    portfolio[i]--;  // 還原現場
                }
                if (portfolio[i] > 0) {
                    portfolio[i]--;
                    update(h, day + 1, encode(portfolio), v + price[i][day], -i - 1);  // SELL
                    portfolio[i]++;  // 還原現場
                }
            }
        }
    }
    return d[m][0];
}

void print_ans(int day, int h) {
    if (day == 0) return;
    print_ans(day - 1, myprev[day][h]);
    if (opt[day][h] == 0) printf("HOLD\n");
    else if (opt[day][h] > 0) printf("BUY %s\n", name[opt[day][h] - 1]);
    else printf("SELL %s\n", name[-opt[day][h] - 1]);
}

int main() {
    int kase = 0;
    while (scanf("%lf%d%d%d", &c, &m, &n, &kk) == 4) {
        if (kase++ > 0) printf("\n");
        _for(i, 0, n) {
            scanf("%s%d%d", name[i], &s[i], &k[i]);
            _for(j, 0, m) { scanf("%lf", &price[i][j]); price[i][j] *= s[i]; }
        }
        _rep(i, 0, m) { 
            d[i].clear();
            opt[i].clear();
            myprev[i].clear(); 
        }

        double ans = dp(); // dp採用遞推
        printf("%.2lf\n", ans);
        print_ans(m, 0);
    }
    return 0;
}

狀態池。
對程式碼中，變數的解釋：
c：初始資金；m：天數；n：股數；kk：最大總持股手數。
name[i]：第i股的名字；s[i]：第i股一手有多少股；k[i]：第i股最大持有手數。
price[i][j]：第i只股，第j天每手股的股價。
d[i][p]：第i天，狀態序號為p，的最大剩餘資金。
opt[i][p]：第i天，狀態序號為p，這天執行的動作。
myprev[i][p]：第i天，狀態序號為p，這天還沒有執行任何動作時的狀態序號。
ID[vp]：資產情況vector對應的狀態序號。
states[p]：狀態序號p對應的資產情況vector。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#define _for(i,a,b) for(int i = (a); i<(b); i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i = (a); i<=(b); i++)
using namespace std;

const double INF = 1e30;
const int maxn = 8;
const int maxm = 100 + 5;
const int maxstate = 15000;

int m, n, s[maxn], k[maxn], kk;
double c, price[maxn][maxm];
char name[maxn][10];

double d[maxm][maxstate];
int opt[maxm][maxstate], myprev[maxm][maxstate];

int buy_next[maxstate][maxn], sell_next[maxstate][maxn];
vector<vector<int> > states;
map<vector<int>, int> ID;

// stock：遍歷到的股票序號，lots已經寫好的持有情況，totlot總持有股票手數
void dfs(int stock, vector<int>& lots, int totlot) {
    if (stock == n) {
        ID[lots] = states.size();
        states.push_back(lots);
    }
    else for (int i = 0; i <= k[stock] && totlot + i <= kk; i++) {
        lots[stock] = i;
        dfs(stock + 1, lots, totlot + i);
    }
}

void init() {
    vector<int> lots(n);  // 在lots中建立n個0
    states.clear();
    ID.clear();
    dfs(0, lots, 0);
    _for(s, 0, states.size()) {
        int totlot = 0;
        _for(i, 0, n) totlot += states[s][i];
        _for(i, 0, n) {
            buy_next[s][i] = sell_next[s][i] = -1;  // 考慮買賣不了的情況，所以初值-1
            if (states[s][i] < k[i] && totlot < kk) {
                vector<int> newstate = states[s];
                newstate[i]++;
                buy_next[s][i] = ID[newstate];
            }
            if (states[s][i] > 0) {
                vector<int> newstate = states[s];
                newstate[i]--;
                sell_next[s][i] = ID[newstate];
            }
        }
    }
}

void update(int day, int s, int s2, double v, int o) {
    if (v > d[day + 1][s2]) {
        d[day + 1][s2] = v;
        opt[day + 1][s2] = o;
        myprev[day + 1][s2] = s;
    }
}

double dp() {
    _rep(day, 0, m) _for(s, 0, states.size()) d[day][s] = -INF;

    d[0][0] = c;
    _for(day,0,m)
        _for(s, 0, states.size()) {
            double v = d[day][s];
            if (v < -1) continue;  // 這種狀態不可能達到

            update(day, s, s, v, 0); // HOLD
            _for(i, 0, n) {
                if (buy_next[s][i] >= 0 && v >= price[i][day] - 1e-3)
                    update(day, s, buy_next[s][i], v - price[i][day], i + 1);
                if (sell_next[s][i] >= 0)
                    update(day, s, sell_next[s][i], v + price[i][day], -i - 1);
            }
        }
    return d[m][0];
}

void print_ans(int day, int s) {
    if (day == 0) return;
    print_ans(day - 1, myprev[day][s]);
    if (opt[day][s] == 0) printf("HOLD\n");
    else if (opt[day][s] > 0) printf("BUY %s\n", name[opt[day][s] - 1]);
    else printf("SELL %s\n", name[-opt[day][s] - 1]);
}

int main() {
    int kase = 0;
    while (scanf("%lf%d%d%d", &c, &m, &n, &kk) == 4) {
        if (kase++ > 0) printf("\n");

        _for(i, 0, n) {
            scanf("%s%d%d", name[i], &s[i], &k[i]);
            _for(j, 0, m) { scanf("%lf", &price[i][j]); price[i][j] *= s[i]; }
        }
        init();

        double ans = dp();
        printf("%.2lf\n", ans);
        print_ans(m, 0);
    }
    return 0;
}