演算法描述

問題描述

如果一個自然數N的K進製表示中任意的相鄰的兩位都不是相鄰的數字，那麼我們就說這個數是K好數。求L位K進位制數中K好數的數目。例如K = 4，L = 2的時候，所有K好數為11、13、20、22、30、31、33 共7個。由於這個數目很大，請你輸出它對1000000007取模後的值。

輸入格式

輸入包含兩個正整數，K和L。

輸出格式

輸出一個整數，表示答案對1000000007取模後的值。

樣例輸入

4 2

樣例輸出

7

資料規模與約定

對於30%的資料，KL <= 106；

對於50%的資料，K <= 16， L <= 10；

對於100%的資料，1 <= K,L <= 100。

思考過程

ps：題目考點是動態規劃，但是我還沒有去查動態規劃的內容，在此先記錄一下自己的思考過程

首先以K=5，L=3為例
先畫了樹狀圖，將所有情況列出。
將第一位設為①，0①表示第1位上的0，以此類推。
列出後將樹狀圖的情況簡化如下（數值代表有幾種情況）：
第三層：
0③ = 1；
1③ = 1；
2③ = 1；
3③ = 1；
4③ = 1；

第二層：
0② = 0③ + 2③ + 3③ + 4③；
1② = 1③ + 3③ + 4③；
2② = 0③ + 2③ + 4③；
3② = 0③ + 3③ + 4③；
4② = 0③ + 1③ + 2③ + 4③；

第一層：
0① = 0； 因為首位不可能為0
1① = 1② + 3② + 4②；
2① = 0② + 2② + 4②；
3① = 0② + 3② + 4②；
4① = 0② + 1② + 2② + 4②；

由此規律想到可以列一個k行l列的二維陣列，每一行的值就是靠上述規律得來的。
建立二維陣列後，首先把最後一列的數值填滿為1.
（以K=6， L=4為例）得到陣列
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
① 0 0 0 1
② 0 0 0 1
③ 0 0 0 1
④ 0 0 0 1
⑤ 0 0 0 1
⑥ 0 0 0 1

然後倒著從Ⅲ列即倒數第二列開始按照規律填充陣列
如果是第①行的數，就需要除去第Ⅳ列第②行的數，
如果是第⑥行的數，就需要除去第Ⅳ列第⑤行的數，
剩下的行數需要除去第Ⅳ列本行數減一和加一行的數。
將剩下的數相加，得到第Ⅲ列的數字如下
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
① 0 0 5 1
② 0 0 4 1
③ 0 0 4 1
④ 0 0 4 1
⑤ 0 0 4 1
⑥ 0 0 5 1

按照上述規律，得到第Ⅱ列數和第Ⅰ列數後，陣列變為：
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
① 97 22 5 1
② 74 17 4 1
③ 79 18 4 1
④ 79 18 4 1
⑤ 74 17 4 1
⑥ 97 22 5 1

最後，除去第①行第Ⅰ列的數字，因為首位數字不能為0，將其他第Ⅰ列的數字加和，就得到了所有的K好數的個數。
所以當K=6，L=4時，得到結果為74+79+79+74+97=403

注意事項

• 掌握指標申請動態二維陣列的方法
• 要注意求餘，否則會因數值大小超過限定長度而產生錯誤
• 上述求餘時僅在最後求sum的值時求餘是不夠的，在陣列填充時就需要求餘了
• 好好學數學啊我哭著，抽象模型出來太難了，這個題卡了我將近兩個小時，最開始一直在考慮排列組合但是總感覺不太對勁兒，後面想到用陣列表示也是靈機一動，最開始還想用算式列出來但是發現太不可行了，L=3還能勉強寫出來到了L=4的時候就徹底暈了。

程式碼表示

/*
    AUTHER：0_Re5et
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX 100

int main()
{
    int k, l;
    int i, j;
    int Lcir, Hcir; 
    long int sum=0;
    long int **p;

    scanf("%d %d", &k, &l);

    p = (long int**)malloc(sizeof(long int*) * k);
    for(i=0; i<k; i++)
    {
        p[i] = (long int*)malloc(sizeof(long int) * l);
    } 
    // 申請二維陣列

    for(i=0; i<k; i++)
    {
        for(j=0; j<l; j++)
        {
            p[i][j]=0;
        }
    }
    // 陣列初始化 

    for(i=0; i<k; i++)
    {
        p[i][l-1] = 1;
    } 
    // 將最後一列的值設為1 

    for(Lcir=l-2; Lcir>=0; Lcir--)
    {
        // 列迴圈 

        for(Hcir=0; Hcir<k; Hcir++)
        {
            // 行迴圈


            if(Hcir == 0)
            {
                for(i=0; i<k; i++)
                {
                    if(i != 1)
                    {
                        p[0][Lcir] = p[0][Lcir] + p[i][Lcir+1];
                        p[0][Lcir] = p[0][Lcir] % 1000000007;
                    }
                    else
                        continue;
                }
            }
            else if(Hcir == k-1)
            {
                for(i=0; i<k; i++)
                {
                    if(i != k-2)
                    {
                        p[k-1][Lcir] = p[k-1][Lcir] + p[i][Lcir+1];
                        p[k-1][Lcir] = p[k-1][Lcir] % 1000000007;
                    }
                    else
                        continue;
                }
            }
            else
            {
                for(i=0; i<k; i++)
                {
                    if( (i != Hcir+1) && (i != Hcir-1) )
                    {
                        p[Hcir][Lcir] = p[Hcir][Lcir] + p[i][Lcir+1];
                        p[Hcir][Lcir] = p[Hcir][Lcir] % 1000000007;
                    }
                    else
                        continue;
                }
            }

        }
    }

    for(i=1; i<k; i++)
    {
        sum = sum + p[i][0];
        sum = sum % 1000000007;
    }
    printf("%ld", sum);

//  for(i=0; i<k; i++)
//  {
//      for(j=0; j<l; j++)
//      {
//          printf("%ld ", p[i][j]);
//      }
//      printf("\n");
//  }
    // 輸出陣列 


    return 0;
}