找到n個元素中的第二小元素
阿新 • • 發佈：2019-02-20
演算法導論中的一道習題：
證明： 在最壞情況下，找到n個元素中的第二小的元素需要n+ceil(lgn)-2次比較。（提示：可以同時找到最小元素，ceil表示向上取整）
思路：
找到最小元素需要n-1次比較。採用兩兩結合比較的方法。如果n為奇數，則取第一個元素為臨時最小元素min，其它兩兩結合比較，形成一個類似樹的比較過程。如果n為偶數，則直接進行兩兩結合比較，根節點即為最小元素。
接下來查詢第二小元素，需要ceil(lgn)-1次比較。考慮：第二小元素一定和第一小元素進行了比較，所以可以直接在比較樹的根節點到葉節點中的元素中去尋找，當n為2^n到2^(n+1)-1時，樹高為ceil（lgn）, 需要比較次數ceil（lgn）-1(減去跟節點的那一層)
舉個例子：
0
/ \
1 0
/ / \
1 2 0
/ \ / \ / \
1 3 4 2 0 7
假設有一批數1，3,4,2,0,7 。有n個數，他所產生的比較樹樹高為ceil(lgn),在樹高為ceil(lgn)的比較樹中，最多有ceil(lgn)-1個與之比較過，根節點那層減去，故為ceil(lgn) -1.（這裡感謝 @doodlesomething同學的解釋～）
那麼，我們發散一下思維，最壞情況下是上面的結果，那麼最好情況下呢？
思路：
“設定兩個儲存單元：N1,N2，N1中儲存最小的兩個中較大的一個，N2中儲存最小的一個。
假設前兩個數是最小的，比較這兩個數，將小的放在N2中，大的放在N1中。
從第三個開始迴圈與N1比較，如果當前比較的值大於N1的值，則繼續迴圈直到最後。如果當前比較的值小於N1的值，則與N2做比較，如果大於N2則用當前值替換N1的值，如果小於N2，則用N2的值替換N1的值，當前值替換N2的值。
這樣做法應該是比較最少的了，最少比較：N-1次，最多比較：2N-3次。”
思路有限，如果你有好的想法，請指教！謝謝～