程式設計師面試100題之八：不要被階乘嚇倒（二進位制表示中最低位1的位置 ）
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階乘（Factorial）是個很有意思的函式，但是不少人都比較怕它，我們來看看兩個與階乘相關的問題：
1、 給定一個整數N，那麼N的階乘N！末尾有多少個0呢？例如：N＝10，N！＝3 628 800，N！的末尾有兩個0。
2、求N！的二進位制表示中最低位1的位置。
有些人碰到這樣的題目會想：是不是要完整計算出N！的值？如果溢位怎麼辦？事實上，如果我們從"哪些數相乘能得到10"這個角度來考慮，問題就變得簡單了。
首先考慮，如果N！= K×10^M，且K不能被10整除，那麼N！末尾有M個0。再考慮對N！進行質因數分解，N！=（2^x）×（3^y）×（5^z）…，由於10 = 2×5，所以M只跟X和Z相關，每一對2和5相乘可以得到一個10，於是M = min（X, Z）。不難看出X大於等於Z，因為能被2整除的數出現的頻率比能被5整除的數高得多，所以把公式簡化為M = Z。
根據上面的分析，只要計算出Z的值，就可以得到N！末尾0的個數。
【問題1的解法一】
要計算Z，最直接的方法，就是計算i（i =1, 2, …, N）的因式分解中5的指數，然後求和：
[cpp] view plaincopyprint?- ret = 0;
- for(i = 1; i <= N; i++)
- {
- j = i;
- while(j % 5 ==0)
- {
- ret++; //統計N的階乘中那些能夠被5整除的因子的個數
- j /= 5;
- }
- }
ret = 0; for(i = 1; i <= N; i++) { j = i; while(j % 5 ==0) { ret++; //統計N的階乘中那些能夠被5整除的因子的個數 j /= 5; } }
【問題1的解法二】
公式：Z = [N/5] +[N/5^2] +[N/5^3] + …（不用擔心這會是一個無窮的運算，因為總存在一個K，使得5^K > N，[N/5^K]=0。）
公式中，[N/5]表示不大於N的數中5的倍數貢獻一個5，[N/5^2]表示不大於N的數中5^2的倍數再貢獻一個5，……程式碼如下：
[cpp] view plaincopyprint?- ret = 0;
- while(N)
- {
- ret += N / 5;
- N /= 5;
- }
ret = 0;
while(N)
{
ret += N / 5;
N /= 5;
}問題2要求的是N！的二進位制表示中最低位1的位置。給定一個整數N，求N！二進位制表示的最低位1在第幾位？例如：給定N = 3，N！= 6，那麼N！的二進位制表示（1 010）的最低位1在第二位。
為了得到更好的解法，首先要對題目進行一下轉化。
首先來看一下一個二進位制數除以2的計算過程和結果是怎樣的。
把一個二進位制數除以2，實際過程如下：
判斷最後一個二進位制位是否為0，若為0，則將此二進位制數右移一位，即為商值（為什麼）；反之，若為1，則說明這個二進位制數是奇數，無法被2整除（這又是為什麼）。
所以，這個問題實際上等同於求N！含有質因數2的個數+1。即答案等於N！含有質因數2的個數加1。 實際上N！都為偶數，因為質因數裡面都有一個2，除了1以外，因為1的階乘是1，是個奇數，其他數的階乘都是偶數。。
【問題2的解法一】
由於N! 中含有質因數2的個數，等於 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …[1]，
根據上述分析，得到具體演算法，如下所示：
- /*
- 可以先求出N!中2的個數（因為每存在一個2，則在數的
- 最低位多1個0）。因此求1的最低位的位置即為N!中2的個數+1；
- */
- int lowestOnePos(int n)
- {
- int ret = 0; //統計n!中含有質因數2的個數
- while(n)
- {
- n >>= 1;
- ret += n;
- }
- return ret+1;
- }
/*
可以先求出N!中2的個數（因為每存在一個2，則在數的
最低位多1個0）。因此求1的最低位的位置即為N!中2的個數+1；
*/
int lowestOnePos(int n)
{
int ret = 0; //統計n!中含有質因數2的個數
while(n)
{
n >>= 1;
ret += n;
}
return ret+1;
}
【問題2的解法二】
N！含有質因數2的個數，還等於N減去N的二進位制表示中1的數目。我們還可以通過這個規律來求解。
下面對這個規律進行舉例說明，假設 N = 11011，那麼N!中含有質因數2的個數為 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …
即： 1101 + 110 + 11 + 1
=（1000 + 100 + 1）
+（100 + 10）
+（10 + 1）
+ 1
=（1000 + 100+ 10 + 1）+（100 + 10 + 1）+ 1
= 1111 + 111 + 1
=（10000 -1）+（1000 - 1）+（10-1）+（1-1）
= 11011-N二進位制表示中1的個數
小結
任意一個長度為m的二進位制數N可以表示為N = b[1] + b[2] * 2 + b[3] * 22 + … + b[m] * 2(m-1)，其中b [ i ]表示此二進位制數第i位上的數字（1或0）。所以，若最低位b[1]為1，則說明N為奇數；反之為偶數，將其除以2，即等於將整個二進位制數向低位移一位。
相關題目
給定整數n，判斷它是否為2的方冪（解答提示：n>0&&（（n&（n-1））==0））。
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[1] 這個規律請讀者自己證明（提示N/k，等於1, 2, 3, …, N中能被k整除的數的個數）。