[CQOI2017]老C的鍵盤

題目描述

額，網上題解好像都是用的一大堆組合數，然而我懶得推公式。

設\(f[i][j]\)表示以\(i\)為根，且\(i\)的權值為\(j\)的方案數。

轉移：
\[ f[i][j]=\sum f[sn_1][k]*f[sn_2][q] \]
需要判斷一下\(k,q\)與\(j\)的關系滿不滿足題意就行了。

但是這樣的答案顯然不對，因為有些權值可能多次出現。

換句話說，有些權值可能沒有出現。所以我們就用那個經典的容斥，枚舉顏色數上界。
設\(g[s]\)表示顏色數最多為\(s\)的方案數，則\(\displaystyle ans=\sum_{s=1}^n (-1)^{n-s}C_n^sg[s]\)

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 105

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=1e9+7;
int n;
char s[N];
int f[N][N];
int c[N][N];
int Mod(int a) {return a<0?a+mod:(a<mod?a:a-mod);}

int g[N][2];
int ans;
void update(int v,int sn,int flag,int sum) {
    if(s[sn]=='<') {
        for(int j=1;j<=sum;j++) g[j][flag]=Mod(g[j-1][flag]+f[sn][j-1]);
    } else {
        for(int j=sum;j>=1;j--) g[j][flag]=Mod(g[j+1][flag]+f[sn][j+1]);
    }
}
int work(int sum) {
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i=n;i>=1;i--) {
        memset(g,0,sizeof(g));
        if(i*2<=n) update(i,i<<1,0,sum);
        else for(int j=1;j<=sum;j++) g[j][0]=1;
        if(i*2+1<=n) update(i,i<<1|1,1,sum);
        else for(int j=1;j<=sum;j++) g[j][1]=1;
        for(int j=1;j<=sum;j++) f[i][j]=1ll*g[j][0]*g[j][1]%mod;
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=sum;i++) ans=Mod(ans+f[1][i]);
    return ans;
}
int main() {
    n=Get();
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            c[i][j]=(!j||i==j)?1:Mod(c[i-1][j-1]+c[i-1][j]);
    scanf("%s",s+2);
    int flag=1;
    for(int i=n;i>=1;i--,flag*=-1) {
        ans=(ans+flag*1ll*c[n][i]*work(i)%mod+mod)%mod;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}
 

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