pri 們的 二分圖 exit 是否 splay find 行列式 res

題目鏈接

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3168

題解

首先，我們需要求出對於任意的 \(i, j(1 \leq i, j \leq n)\)，第二套中的第 \(j\) 個機器人是否可以替換第一套中的第 \(i\) 個機器人。

將第 \(i\) 個機器人提供的第 \(j\) 種營養的量記為 \(a_{i, j}\)，我們可以得到一個 \(n \times n\) 的矩陣 \(A\)。那麽，整套機器人能搭配出任何營養需求等價於將矩陣 \(A\) 化為行階梯形矩陣後擁有 \(n\) 個非零行，即該矩陣為滿秩矩陣。

由於滿秩矩陣即可逆矩陣，矩陣 \(A\)

可逆等價於矩陣 \(A\) 的行列式值 \(|A| \neq 0\)，因此，我們的任務是快速求出矩陣 \(A\) 在替換了某一行的元素後的行列式的值。不難想到通過行列式按行展開法則來計算行列式的值，即假如替換的是矩陣 \(A\) 的第 \(i\) 行，那麽有（以下用 \(A_{i, j}\) 表示矩陣的 \((i, j)\) 元的代數余子式，矩陣的行列標號為 \(1 \sim n\)）：

\[|A| = \sum_\limits{k = 1}^{n} a_{i, k}A_{i, k}\]

其中的 \(a_{i, k}(1 \leq k \leq n)\) 為第 \(i\) 行替換後的元素值。由於代數余子式 \(A_{i, k}\)

的值與第 \(i\) 行本身的元素無關，因此我們可以先用 \(O(n^3)\) 的時間求出矩陣 \(A\) 的伴隨矩陣，從而得到矩陣所有元素對應的代數余子式的值。具體地，設矩陣 \(A\) 的伴隨矩陣為 \(A^*\)，根據 \(A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*\) 可得 \(A^* = |A|A^{-1}\)，由於可以在 \(O(n^3)\) 的時間內求出矩陣 \(A\) 的逆矩陣 \(A^{-1}\)（並順便求出矩陣 \(A\) 的行列式值 \(|A|\)），因此自然能夠在相同的時間內求出伴隨矩陣。得到所有元素的代數余子式的值後，我們便能在 \(O(n)\) 的時間內求出單次行替換後矩陣的行列式值。一共需要進行 \(O(n^2)\) 次替換與判斷，故預處理出每個機器人對應的替換集合所需的總時間復雜度為 \(O(n^3)\)。

預處理完畢後，我們就可以通過求二分圖匹配來尋找解的方案。不過，註意到題目要求求出字典序最小的匹配，因此直接通過一次二分圖匹配得到的方案並不是我們所需要的答案，我們需要在此基礎上再進行一次貪心。具體地，我們從小到大枚舉編號 \(i\)，然後判斷在第一套機器人中編號小於 \(i\) 的機器人的匹配狀態不變的情況下，編號為 \(i\) 的機器人能否與編號更優的機器人匹配即可。

總時間復雜度為 \(O(n^3)\)。

代碼

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 3e2 + 10, mod = 1e9 + 7;

void add(int& x, int y) {
  x += y;
  if (x >= mod) {
    x -= mod;
  }
}

int mul(int x, int y) {
  return (long long) x * y % mod;
}

int qpow(int v, int p) {
  int result = 1;
  for (; p; p >>= 1, v = mul(v, v)) {
    if (p & 1) {
      result = mul(result, v);
    }
  }
  return result;
}

int n, a[N][N], b[N][N], inv[N][N], adj[N][N], choice[N], visit[N], tt, answer[N];
vector<int> go[N];

void transform1(int a[N][N], int i, int j) {
  for (int p = 0; p < n; ++p) {
    swap(a[i][p], a[j][p]);
  }
}

void transform2(int a[N][N], int i, int k) {
  for (int p = 0; p < n; ++p) {
    a[i][p] = mul(a[i][p], k);
  }
}

void transform3(int a[N][N], int i, int j, int k) {
  for (int p = 0; p < n; ++p) {
    add(a[i][p], mul(a[j][p], k));
  }
}

void get_adj() {
  int det = 1;
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    inv[i][i] = 1;
  }
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    if (!a[i][i]) {
      int p = i;
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        if (a[j][i]) {
          p = j;
        }
      }
      if (p == i) {
        puts("NIE");
        exit(0);
      }
      transform1(a, i, p);
      transform1(inv, i, p);
      det = (mod - det) % mod;
    }
    det = mul(det, a[i][i]);
    int x = qpow(a[i][i], mod - 2);
    transform2(a, i, x);
    transform2(inv, i, x);
    for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
      int p = a[j][i];
      transform3(a, j, i, (mod - p) % mod);
      transform3(inv, j, i, (mod - p) % mod);
    }
  }
  for (int i = n - 1; ~i; --i) {
    for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
      int p = a[i][j];
      transform3(a, i, j, (mod - p) % mod);
      transform3(inv, i, j, (mod - p) % mod);
    }
  }
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      adj[i][j] = mul(inv[j][i], det);
    }
  }
}

bool find(int u) {
  for (int i = 0; i < go[u].size(); ++i) {
    int v = go[u][i];
    if (visit[v] != tt) {
      visit[v] = tt;
      if (!~choice[v] || find(choice[v])) {
        choice[v] = u;
        return true;
      }
    }
  }
  return false;
}

bool find_better(int u, int down) {
  for (int i = 0; i < go[u].size(); ++i) {
    int v = go[u][i];
    if (visit[v] != tt) {
      visit[v] = tt;
      if (choice[v] == down || (choice[v] > down && find_better(choice[v], down))) {
        answer[u] = v;
        choice[v] = u;
        return true;
      }
    }
  }
  return false;
}

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      scanf("%d", &a[i][j]);
    }
  }
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      scanf("%d", &b[i][j]);
    }
  }
  get_adj();
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      int det = 0;
      for (int k = 0; k < n; ++k) {
        add(det, mul(b[j][k], adj[i][k]));
      }
      if (det) {
        go[i].push_back(j);
      }
    }
  }
  memset(choice, -1, sizeof choice);
  int total = 0;
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    ++tt;
    total += find(i);
  }
  if (total != n) {
    puts("NIE");
  } else {
    puts("TAK");
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      ++tt;
      find_better(i, i);
      printf("%d\n", answer[i] + 1);
    }
  }
  return 0;
}

BZOJ3168. [HEOI2013]鈣鐵鋅硒維生素（線性代數＋二分圖匹配）