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二維平面修改+查詢，cdq分治可以解決。

求關於某個點曼哈頓距離（x,y坐標）最近的點——dis(A,B) = |Ax-Bx|+|Ay-By|

但是如何去掉絕對值呢？

查看題解發現假設所有的點都在查詢點的左下方，dis(A,B) = (Ax-Bx)+(Ay-By) = (Ax+Ay)-(Bx+By)

只要求滿足Bx<Ax,By<Ay且Bx,By之和最大的點就好了。

那麽如何把所有的點轉化到該查詢的左下呢？

對於每個查詢，可以把一、二、四象限的點都通過對稱轉移到第三象限。但查詢很多，不可能一個個翻轉。

換個思路，如果把整個平面翻轉三次，進行四次cdq分治，每次都只考慮左下的點，所有的點就都遍歷到了！

記錄最大的x或y值為邊界len，每次沿len翻轉。例如沿y軸翻轉時，x = len-x

那麽每個操作有三維——時間、x坐標、y坐標

時間在輸入時已經排好了；x歸並排序；y仿照陌上花開，用樹狀數組記錄。

優化 & 註意

這道題坑點超級多...而且四次cdq分治會得到一個感人的復雜度，所以必須考慮優化，卡一卡常數（我選擇吸氧）

• cdq內的歸並排序代替每次sort。
• 因為每次cdq完順序會被打亂，如果重新按時間O(nlogn)排序，不如每次存入一個臨時數組，然後O(n)直接復制過去。

　　但是ans需要存入初始的數組中，所以結構體需要一個.id來記錄打亂前的時間，也就是原數組下標。賦值應該寫

　　並且，由於每次查詢點的x,y也會更改，所以ans裏不能直接存max(Bx+By)，而應該為min((Ax+Ay)-(Bx+By))。

• 如果某個點在坐標軸上，那麽它的x或y為0。存入樹狀數組時，會因為lowbit()==0而陷入死循環。所以存入時，將x,y分別+1。

　　同樣的，如果某個點在翻轉邊界len上，翻轉時也會變為0。所以len也要++。

• 考慮這樣一種情況：某一點非常靠近邊界，導致某次翻轉時，沒有點在它的左下。這樣查詢時默認返回了0。

　　當前的“原點”比實際上的點離該查詢點更近，這樣最終的距離就成了這個點到原點的距離，但原點是不存在的（經過剛剛的更改，已經沒有x或y坐標為0的點）

　　為避免這種情況，當查詢時需要特判，若為0則返回-INF。

• 由於初始值——前n個點一定是修改操作，可以把它們直接排好序，不用遞歸檢驗是否有查詢。（不過我覺得有點麻煩就沒寫）

這道題的代碼不難，但是細節特別多，很難debug...寫的時候思路一定要清晰了！

代碼如下

// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define MogeKo qwq
using namespace std;
const int maxn = 1e7+10;
const int INF = 2e7+10;
int n,q,opt,x,y,len;

struct node {
    int x,y,type,id,ans;
} a[maxn],b[maxn],tem[maxn];

struct BIT {
    int m[maxn];
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
    void update(int x,int v) {
        for(; x <= len; x+= lowbit(x))
            m[x] = max(m[x],v);
    }
    int query(int x) {
        int ans = 0;
        for(; x; x-=lowbit(x))
            ans = max(ans,m[x]);
        return ans?ans:-INF;
    }
    void clear(int x) {
        for(; m[x]; x+= lowbit(x))
            m[x] = 0;
    }
} tree;

void cdq(int L,int R) {
    if(L == R) return;
    int mid = L+R >> 1;
    cdq(L,mid),cdq(mid+1,R);
    int t1 = L,t2 = mid+1;
    int k = L;
    while(t2 <= R) {
        while(t1 <= mid && b[t1].x <= b[t2].x) {
            if(b[t1].type == 1)
                tree.update(b[t1].y, b[t1].x+b[t1].y);
            tem[k++] = b[t1++];
        }
        if(b[t2].type == 2)
            a[b[t2].id].ans = min(a[b[t2].id].ans,b[t2].x+b[t2].y-tree.query(b[t2].y));
        tem[k++] = b[t2++];
    }
    for(int i = L; i <= t1-1; i++)
        if(b[i].type == 1) tree.clear(b[i].y);
    while(t1 <= mid) tem[k++] = b[t1++];
    for(int i = L;i <= R;i++) b[i] = tem[i];
}

void solve(int rx,int ry) {
    for(int i = 1; i <= n+q; i++) {
        b[i] = a[i];
        if(rx) b[i].x = len - b[i].x;
        if(ry) b[i].y = len - b[i].y;
    }
    cdq(1,n+q);
}

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        a[i].type = 1;
        a[i].id = i;
        a[i].x = ++x;
        a[i].y = ++y;
        len = max(len,max(x,y));
    }
    for(int i = n+1; i <= n+q; i++) {
        scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);
        a[i].type = opt;
        a[i].id = i;
        a[i].x = ++x;
        a[i].y = ++y;
        a[i].ans = INF;
        len = max(len,max(x,y));
    }
    len++;
    solve(0,0),solve(0,1),solve(1,0),solve(1,1);
    for(int i = n+1; i <= n+q; i++)
        if(a[i].type == 2) printf("%d\n",a[i].ans);
    return 0;
}

Luogu P4169 [Violet]天使玩偶/SJY擺棋子