Python中的Numpy的基本知識

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以下列出一些關於Numpy矩陣運算的基本知識和坑點。

首先需要在命令行中安裝Numpy庫和繪圖庫（可選）：

pip install numpy
pip install matplotlib

然後在python文件的第一行，加入對它們的引用：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

• 基本矩陣運算

a=np.array([1,2,3,4,5,6]).reshape(2,3)
b=np.array([1,1,1,1,1,1]).reshape(2,3)

print("a:")
print(a)

print("b:")
print(b)

print("a*b:")
print(a*b)

print("np.multiply(a,b):")
print(np.multiply(a,b))

print("np.dot(a,b.T)")
print(np.dot(a,b.T))

# 以下這個命令會出錯
print(np.dot(a,b))
 

結果：

a:
[[1 2 3]
 [4 5 6]]
b:
[[1 1 1]
 [1 1 1]]
a*b:
[[1 2 3]
 [4 5 6]]
np.multiply(a,b):
[[1 2 3]
 [4 5 6]]
np.dot(a,b.T)
[[ 6  6]
 [15 15]]

可以看到，a*b和np.multiply(a,b)的作用是一樣的，都是點乘，即兩個矩陣中相對應位置的數值相乘，element wise operation。它的輸出與相乘矩陣的尺寸一致。

而np.dot是標準的矩陣運算，。如果輸入是(3x2)x(2x4)，則輸出為3x4。要求a的列數和b的行數一樣才能相乘，所以我們把b轉置了一下，b本身是2行3列，b.T就是3行2列，a是2行3列，結果是2行2列。所以，一定不要被np.dot這個函數名字迷惑了，它不是點乘的意思。

a=np.array([1,2,3])
b=np.array([1,1,1]).reshape(1,3)
print(a.shape)
print(a*b)
a=a.reshape(3,1)
print(a.shape)
print(a*b)

結果：

(3,)
[[1 2 3]]
(3, 1)
[[1 1 1]
 [2 2 2]
 [3 3 3]]

第一次定義a時，是一個1維列向量，shape=(3,)，用a*b得到的結果是shape=(1,3)的矩陣[[1 2 3]]。
後來把a.reshape(3,1)3行1列的二維矩陣，雖然表面看起來形式沒變，但是在與b點乘後，得到了一個(3,3)的矩陣。
為了避免一些錯誤，最好在每次矩陣運算前，都把兩個矩陣reshape成一個二維矩陣（或多維矩陣）。

神經網絡中的計算過程

• w=(3x2)
  w=np.array([1,2,3,4,5,6]).reshape(3,2)

[[1 2]
 [3 4]
 [5 6]]

• b=(3x1)
  b=np.array([1,2,3]).reshape(3,1)

[[1]
 [2]
 [3]]

• x=(2x4)(2個特征值,4個樣本)
  x=np.array([2,3,4,5,6,7,8,9]).reshape(2,4)

[[2 3 4 5]
 [6 7 8 9]]

• c=np.dot(w,x)

[[14 17 20 23]
 [30 37 44 51]
 [46 57 68 79]]

• z=c+b = np.dot(w,x) + b
  註意：這裏加法有對b的列廣播（自動擴充b為4x3，通過復制b的值為3列）

b=
[[1 1 1 1]
 [2 2 2 2]
 [3 3 3 3]]

z=
[[15 18 21 24]
 [32 39 46 53]
 [49 60 71 82]]

• y=np.array([6,5,4,3]).reshape(1,4)
  4個樣本的標簽值

[[6 5 4 3]]

• dz = z - y
  註意：這裏減法有對z的廣播(通過復制y的值為3行)

z=
[[15 18 21 24]
 [32 39 46 53]
 [49 60 71 82]]

y=
[[6 5 4 3]
 [6 5 4 3]
 [6 5 4 3]]

dz=
[[ 9 13 17 21]
 [26 34 42 50]
 [43 55 67 79]]

• db = dz.sum(axis=1,keepdims=True)/4
  4是樣本數。axis=1, 按列相加，即一行內的所有列元素相加。除以4是廣播。

[[15.]
 [38.]
 [61.]]

• dw=np.dot(dz,x.T)/4
  x.T是x的轉置。除以4是廣播。 dz=3x4, x.T=4x2, 結果是3x2，正好是w的shape。

[[ 57.5 117.5]
 [143.  295. ]
 [228.5 472.5]]

• w = w - 0.1*dw

[[ -4.75  -9.75]
 [-11.3  -25.5 ]
 [-17.85 -41.25]]

• b = b - 0.1*db

[[-0.5]
 [-1.8]
 [-3.1]]

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