先說結論

假設x為signed int，也就是說它的補碼表示中第一位表示符號（1:負；0：正），那麽~x=-(x+1)

證明

計算機內部使用補碼表示，則問題相當於求證：當x為signed int時，(~x)補=[-(x+1)]補 (0)

證明：
因為補碼有個規律：(x+y)補=(x)補+(y)補，所以：

[-(x+1)]補
= [(-x)+(-1)]補
= (-x)補 + (-1)補

要證(~x)補=[-(x+1)]補，只需要證(~x)補-(-x)補=(-1)補 (1)

考慮到：
(~x)補-(-x)補
=(~x)補+(-(-x)補) (2)

而
(-x)補+(-(-x))補
= [(-x) + (-(-x))]補

把(3)帶入(2)，得到：
(~x)補-(-x)補
= (~x)補+(-(-x))補
= [(~x) + x ]補
= [1111...11]補 (所有位都為1)
= [1111...10]反 （最後一位為0，其它位都為1）
= [1000...01]原 (第一位和最後一位為1，其它位都為0)
= (-1)補

也即(1)得證，因而(0)成立。證畢。

C語言按位取反快速計算