一.基本概念

1.隨機事件與概率

自然界中各種現象可以區分為兩種：確定性現象與隨機現象

• 確定性現象：在一定條件下必然會出現的現象

• 隨機現象：在一定的條件下，可能出現多種結果，而在試驗之前無法預知其確切的結果，也無法控制

概率論與數理統計是研究和揭示隨機現象統計規律性的一
門數學學科

2.隨機事件及其運算

（1）隨機試驗

• 隨機試驗 具有以下特點的試驗稱為隨機試驗：

• 1.試驗可以在相同條件下重復進行

• 2.試驗可能出現的結果有多個，試驗之前知道所有可能的結果

• 3.試驗結束後會出現哪一個結果是隨機的(無法事先知道，也無法控制)

通常用字母E表示隨機試驗(以後簡稱試驗)。

例如：

E1 ：拋一枚硬幣，觀察正、反面出現的情況

E2 ：擲一顆骰子，觀察出現的點數

（2）基本事件ω(也稱樣本點):

一次試驗可能出現的每一個直接的結果。也就是隨機試驗不能夠再分解的結果。

如：

E1有兩個基本事件：E1 ={出現正面}， E2={出現反面}

E2有六個基本事件： Ei ={出現 i 點}，i=1,2,3,4,5,6

（3）樣本空間Ω:全體基本事件的集合。

如：E2的樣本空間為 Ω={1，2，3，4，5，6}

（4）隨機事件:

試驗的每一個可能結果。用大寫字母A,B,C 等表示
隨機事件也就是樣本空間的子集，即若幹基本事件組成的集合。

如：在E2中，“出現偶數點”的事件可表示為A= {2，4，6}

（5）事件發生

當事件A所包含的基本事件有一個出現，就說事件發生了，否則就說事件A未發生

（6）必然事件:一定發生的事件，也就是樣本空間Ω

（7）不可能事件:一定不發生的事件，記為Φ

（8）事件包含:

如果事件A發生必然導致事件B發生．則稱事件B包含事件A，記作 A ? B 或 B ? A

（9）事件的和:

事件A與事件B至少有一個發生，這樣的一個事件稱為事件A與事件B的和或並，記為 A U B 或 A + B

（10）事件的積:

事件A與事件B同時發生，這樣的事件稱為事件A與事件B的積或交，記為 A ∩ B 或 AB

事件的和與積可以推廣到多個事件

（11）事件的差:

事件A 發生而事件B不發生，這樣的事件稱為事件A與事件B的差，記為A-B。

如A={2,4,6}，B={2,3}，則A-B={4,6}。

A-B就是A的基本事件中去掉含在B中的，余下的基本事件組成的事件。

（12）互斥事件:

若事件A與事件B不能同時發生(即AB=Φ)，則稱事件A與事件B為互不相容或互斥。若A與B互不相容，就是A與B不含有公共的基本事件

（13）對立事件(互逆):

若事件A與事件B有且僅有一個發生，且A U B=Ω，A ∩B =Φ，稱事件A與事件B互為對立事件或互逆事件。

3.樣本空間、 事件和概率

• 樣本空間 S 是一個集合，它的元素稱為基本事件。

• 樣本空間的一個子集被稱為事件，根據定義，所有基本事件互斥。

• 概率：如果有一種事件到實數的映射 P{}，滿足：

• （1） 對任何事件 A， P{A}≥0

• （2） P{S}=1

• （3） 對兩個互斥事件， P{A∪B}=P{A}+P{B}

• 則可稱 P{A}為事件 A 的概率。上述三條稱為概率公理。

4.條件概率

設E為一試驗，A和B為E中兩事件，且 P(A)>0，則稱P(AB)/P(A)為事件A發生的條件下事件B發生的條件概率，記作P(B|A)，即P(B|A)= P(AB)/P(A)

5.全概率公式

• 定義

• 設試驗E的樣本空間為Ω，事件A1,A2,……,An滿足：

• 1、兩兩互不相容

• 2、ΣAi= Ω

• 3、P(Ai)>0

• 則稱A1,A2,……,An 為 Ω 的一個劃分(分割)

• 定理

設 Ω為試驗 E 的樣本空間，A 為 E 的一個隨機事件，
B1,B2,……,Bn 為Ω的一個劃分，且有 P(Bi)>0，則
.
證明：
?? ?
n
i
P A P Bi P A Bi
1
( ) ( ) ( | ) ? ? ? ? ? ?
n
i
i i
n
i
P A P ABi P B P A B
1 1
( ) ( ) ( ) ( | )

概率期望dp