定義

　　（1）堆是一個完全二叉樹。(除了葉子節點，其他節點的值都是滿的)

　　（2）堆中每一個節點的值都必須大於等於(或者小於等於)其左右節點的值。 對於每個節點的值大於等於子樹的值，稱為大頂堆。反之稱之為小頂堆。

　　圖示（大頂堆）：

堆的實現

　　因為堆的執行(完全二叉樹)，他適合用數組直接進行存儲。數組中下標為i的節點的左右節點為為i*2， i*2+1。而任意一個節點i的父節點是i/2。這裏我們在平時可以選擇下邊1作為第一個節點，有助於理解和代碼的書寫。如果我們用下標0作為第一個節點的話， 其子節點為（i+1)/2 ，(i+1)/2 +1。

堆的操作

　　插入操作 ：

　　　　堆化過程：從下往上堆化。

　　　　從下往上堆化過程：先將數據插入到數組尾部，然後比較其父節點關系，然後繼續進行交換。直到最後滿足堆的性質。

　　　　實現代碼

　　 　　明天補上

　　刪除操作：在堆中我們一般都是刪除堆頂的元素，很少刪除指定下標節點的情況。所以我們還是只討論對於堆頂元素的刪除情況。

　　　　堆化過程：從上往下堆化。

　　　　從上到下進行堆化過程：在堆化的圖示過程中我們可以看待，這種情況會導致最後完成之後不能滿足完全二叉樹的情況。從而也就破壞了堆的性質。

　　　　鑒於此情況，我們可以將待刪除的元素和數組中最後一個元素進行對調，然後從堆頂從一次向下進行堆化，直到最後滿足定義。這樣完畢之後他還是滿足完全二叉樹的定義。圖示如下：

　　　　代碼實現

　　復雜度分析：在對對進行操作時都不需要申請輔助空間，所以其空間復雜度為O(1)，而對於時間復雜度，由於是以完全二叉樹的性質進行存儲的，從根節點到葉子節點的高度為log n ，因此在堆化的過程中時間，無論是插入操作還是刪除操作其時間復雜度為O(log n)。　　

【數據結構】堆