MATLAB入門教程
聲明：
1.本教程原文出處已經不可查，我所見到最早的來源是CSDN上的一篇博文[1]。本文版權全部歸原文作者所有，此處轉載僅供學習交流之用，如有侵犯請及時聯系我進行刪除。
2.本教程淺顯易懂，十分適合新手學習，但是根據我自己的閱讀來判斷，原文作者應當是臺灣人，所以會有部分繁體字，然而更重要的是！！！臺灣人的行和列與大陸人剛好相反！！！[2]這對於MATLAB這種依靠矩陣運算的工具來說簡直是災難！！！所以讀者在學習時應當自行註意。
[1] MATLAB入門教程
[2] 為什麽臺灣的行和列與大陸恰好相反（好文章值得一讀）
1 MATLAB的基本知識
1.1 基本運算與函數
在MATLAB下進行基本數學運算，只需將運算式直接打入提示號（>>）之後，並按入Enter鍵即可。例如：
>> (5*2+1.3-0.8)*10/25
ans =4.2000
MATLAB會將運算結果直接存入一變數ans，代表MATLAB運算後的答案（Answer）並顯示其數值於螢幕上。
小提示： ">>"是MATLAB的提示符號（Prompt），但在PC中文視窗系統下，由於編碼方式不同，此提示符號常會消失不見，但這並不會影響到MATLAB的運算結果。
我們也可將上述運算式的結果設定給另一個變數x：
x = (5*2+1.3-0.8)*10^2/25
x = 42
此時MATLAB會直接顯示x的值。由上例可知，MATLAB認識所有一般常用到的加（+）、減（-）、乘（*）、除（/）的數學運算符號，以及冪次運算（^）。
小提示： MATLAB將所有變數均存成double的形式，所以不需經過變數宣告（Variabledeclaration）。MATLAB同時也會自動進行記憶體的使用和回收，而不必像C語言,必須由使用者一一指定.這些功能使的MATLAB易學易用，使用者可專心致力於撰寫程式，而不必被軟體枝節問題所幹擾。
若不想讓MATLAB每次都顯示運算結果，只需在運算式最後加上分號（；）即可，如下例：
y = sin(10)*exp(-0.3*4^2);
若要顯示變數y的值，直接鍵入y即可：
>>y
y =-0.0045
在上例中，sin是正弦函數，exp是指數函數，這些都是MATLAB常用到的數學函數。
下表即為MATLAB常用的基本數學函數及三角函數：
小整理：MATLAB常用的基本數學函數
abs(x)：純量的絕對值或向量的長度
angle(z)：復 數z的相角(Phase angle)
sqrt(x)：開平方
real(z)：復數z的實部
imag(z)：復數z的虛 部
conj(z)：復數z的共軛復數
round(x)：四舍五入至最近整數
fix(x)：無論正負，舍去小數至最近整數
floor(x)：地板函數，即舍去正小數至最近整數
ceil(x)：天花板函數，即加入正小數至最近整數
rat(x)：將實數x化為分數表示
rats(x)：將實數x化為多項分數展開
sign(x)：符號函數 (Signum function)。
當x<0時，sign(x)=-1；
當x=0時，sign(x)=0;
當x>0時，sign(x)=1。
> 小整理：MATLAB常用的三角函數
sin(x)：正弦函數
cos(x)：餘弦函數
tan(x)：正切函數
asin(x)：反正弦函數
acos(x)：反餘弦函數
atan(x)：反正切函數
atan2(x,y)：四象限的反正切函數
sinh(x)：超越正弦函數
cosh(x)：超越餘弦函數
tanh(x)：超越正切函數
asinh(x)：反超越正弦函數
acosh(x)：反超越餘弦函數
atanh(x)：反超越正切函數
變數也可用來存放向量或矩陣，並進行各種運算，如下例的列向量（Row vector）運算：
x = [1 3 5 2];
y = 2*x+1
y = 3 7 11 5
小提示：變數命名的規則
1.第一個字母必須是英文字母 2.字母間不可留空格 3.最多只能有19個字母，MATLAB會忽略多餘字母
我們可以隨意更改、增加或刪除向量的元素：
y(3) = 2 % 更改第三個元素
y =3 7 2 5
y(6) = 10 % 加入第六個元素
y = 3 7 2 5 0 10
y(4) = [] % 刪除第四個元素，
y = 3 7 2 0 10
在上例中，MATLAB會忽略所有在百分比符號（%）之後的文字，因此百分比之後的文字均可視為程式的註解（Comments）。MATLAB亦可取出向量的一個元素或一部份來做運算：
x(2)*3+y(4) % 取出x的第二個元素和y的第四個元素來做運算
ans = 9
y(2:4)-1 % 取出y的第二至第四個元素來做運算
ans = 6 1 -1
在上例中，2:4代表一個由2、3、4組成的向量
若對MATLAB函數用法有疑問，可隨時使用help來尋求線上支援（on-line help）：helplinspace
小整理：MATLAB的查詢命令
help：用來查詢已知命令的用法。例如已知inv是用來計算反矩陣，鍵入help inv即可得知有關inv命令的用法。（鍵入help help則顯示help的用法，請試看看！） lookfor：用來尋找未知的命令。例如要尋找計算反矩陣的命令，可鍵入 lookfor inverse，MATLAB即會列出所有和關鍵字inverse相關的指令。找到所需的命令後 ，即可用help進一步找出其用法。（lookfor事實上是對所有在搜尋路徑下的M檔案進行關鍵字對第一註解行的比對，詳見後敘。）
將行向量轉置（Transpose）後，即可得到列向量（Column vector）：
z = x‘
z = 4.0000
5.2000
6.4000
7.6000
8.8000
10.0000
不論是行向量或列向量，我們均可用相同的函數找出其元素個數、最大值、最小值等：
length(z) % z的元素個數
ans = 6
max(z) % z的最大值
ans = 10
min(z) % z的最小值
ans = 4
小整理：適用於向量的常用函數有：
min(x): 向量x的元素的最小值
max(x): 向量x的元素的最大值
mean(x): 向量x的元素的平均值
median(x): 向量x的元素的中位數
std(x): 向量x的元素的標準差
diff(x): 向量x的相鄰元素的差
sort(x): 對向量x的元素進行排序（Sorting）
length(x): 向量x的元素個數
norm(x): 向量x的歐氏（Euclidean）長度
sum(x): 向量x的元素總和
prod(x): 向量x的元素總乘積
cumsum(x): 向量x的累計元素總和
cumprod(x): 向量x的累計元素總乘積
dot(x, y): 向量x和y的內 積
cross(x, y): 向量x和y的外積 （大部份的向量函數也可適用於矩陣，詳見下述。）
若要輸入矩陣，則必須在每一列結尾加上分號（；），如下例：
A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 1011 12];
A =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
同樣地，我們可以對矩陣進行各種處理：
A(2,3) = 5 % 改變位於第二列，第三行的元素值
A =
1 2 3 4
5 6 5 8
9 10 11 12
B = A(2,1:3) % 取出部份矩陣B
B = 5 6 5
A = [A B‘] % 將B轉置後以列向量並入A
A =
1 2 3 4 5
5 6 5 8 6
9 10 11 12 5
A(:, 2) = [] % 刪除第二行（：代表所有列）
A =
1 3 4 5
5 5 8 6
9 11 12 5
A = [A; 4 3 2 1] % 加入第四列
A =
1 3 4 5
5 5 8 6
9 11 12 5
4 3 2 1
A([1 4], :) = [] % 刪除第一和第四列（：代表所有行）
A =
5 5 8 6
9 11 12 5
這幾種矩陣處理的方式可以相互疊代運用，產生各種意想不到的效果，就看各位的巧思和創意。
小提示：在MATLAB的內部資料結構中,每一個矩陣都是一個以行為主（Column-oriented ）的陣列（Array）因此對於矩陣元素的存取，我們可用一維或二維的索引（Index）來定址。舉例來說，在上述矩陣A中，位於第二列、第三行的元素可寫為A(2,3) （二維索引）或A(6)（一維索引，即將所有直行進行堆疊後的第六個元素）。
此外，若要重新安排矩陣的形狀，可用reshape命令：
B = reshape(A, 4, 2) % 4是新矩陣的行數，2是新矩陣的列數
B =
5 8
9 12
5 6
11 5
小提示： A(:)就是將矩陣A每一行堆疊起來，成為一個列向量，而這也是MATLAB變數的內部儲存方式。以前例而言，reshape(A, 8, 1)和A(:)同樣都會產生一個8x1的矩陣。
MATLAB可在同時執行數個命令，只要以逗號或分號將命令隔開：
x = sin(pi/3); y = x^2; z = y*10,
z =
7.5000
若一個數學運算是太長，可用三個句點將其延伸到下一行：
z = 10*sin(pi/3)* ...
sin(pi/3);
若要檢視現存於工作空間（Workspace）的變數，可鍵入who：
who
Your variables are:
testfile x
這些是由使用者定義的變數。若要知道這些變數的詳細資料，可鍵入：
whos
Name Size Bytes Class
A 2x4 64 double array
B 4x2 64 double array
ans 1x1 8 double array
x 1x1 8 double array
y 1x1 8 double array
z 1x1 8 double array
Grand total is 20 elements using 160 bytes
使用clear可以刪除工作空間的變數：
clear A
A
??? Undefined function or variable ‘A‘.
另外MATLAB有些永久常數（Permanent constants），雖然在工作空間中看不 到，但使用者可直接取用，例如：
pi
ans = 3.1416
下表即為MATLAB常用到的永久常數。
小整理：MATLAB的永久常數 i或j：基本虛數單位
eps：系統的浮點（Floating-point）精確度
inf：無限大， 例如1/0 nan或NaN：非數值（Not a number） ，例如0/0
pi：圓周率 p（= 3.1415926...）
realmax：系統所能表示的最大數值
realmin：系統所能表示的最小數值
nargin: 函數的輸入引數個數
nargin: 函數的輸出引數個數
1.2 重復命令
最簡單的重復命令是for圈（for-loop），其基本形式為：
for 變數 = 矩陣；
運算式；
end
其中變數的值會被依次設定為矩陣的每一行，來執行介於for和end之間的運算式。因此,若無意外情況，運算式執行的次數會等於矩陣的行數。
舉例來說，下列命令會產生一個長度為6的調和數列（Harmonic sequence）：
x = zeros(1,6); % x是一個16的零矩陣
for i = 1:6,
x(i) = 1/i;
end
在上例中，矩陣x最初是一個16的零矩陣，在for圈中，變數i的值依次是1到6，因此矩陣x的第i個元素的值依次被設為1/i。我們可用分數來顯示此數列：
format rat % 使用分數來表示數值
disp(x)
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6
for圈可以是多層的，下例產生一個16的Hilbert矩陣h，其中為於第i列、第j行的元素為
h = zeros(6);
for i = 1:6,
for j = 1:6,
h(i,j) = 1/(i+j-1);
end
end
disp(h)
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6
1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7
1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8
1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9
1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10
1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11
小提示：預先配置矩陣 在上面的例子，我們使用zeros來預先配置（Allocate）了一個適當大小的矩陣。若不預先配置矩陣，程式仍可執行，但此時MATLAB需要動態地增加（或減小）矩陣的大小，因而降低程式的執行效率。所以在使用一個矩陣時，若能在事前知道其大小，則最好先使用zeros或ones等命令來預先配置所需的記憶體（即矩陣）大小。
在下例中，for圈列出先前產生的Hilbert矩陣的每一行的平方和：
for i = h,
disp(norm(i)^2); % 印出每一行的平方和
end
1299/871
282/551
650/2343
524/2933
559/4431
831/8801
在上例中，每一次i的值就是矩陣h的一行，所以寫出來的命令特別簡潔。
令一個常用到的重復命令是while圈，其基本形式為：
while 條件式；
運算式；
end
也就是說，只要條件示成立，運算式就會一再被執行。例如先前產生調和數列的例子，我們可用while圈改寫如下：
x = zeros(1,6); % x是一個16的零矩陣
i = 1;
while i <= 6,
x(i) = 1/i;
i = i+1;
end
format short
1.3 邏輯命令
最簡單的邏輯命令是if, ..., end，其基本形式為：
if 條件式；
運算式；
end
if rand(1,1) > 0.5,
disp(‘Given random number is greater than 0.5.‘);
end
Given random number is greater than 0.5.
1.4 集合多個命令於一個M檔案
若要一次執行大量的MATLAB命令，可將這些命令存放於一個副檔名為m的檔案，並在 MATLAB提示號下鍵入此檔案的主檔名即可。此種包含MATLAB命令的檔案都以m為副檔名，因此通稱M檔案（M-files）。例如一個名為test.m的M檔案，包含一連串的MATLAB命令，那麼只要直接鍵入test，即可執行其所包含的命令：
pwd % 顯示現在的目錄
ans =
D:\MATLAB5\bin
cd c:\data\mlbook % 進入test.m所在的目錄
type test.m % 顯示test.m的內容
% This is my first test M-file.
% Roger Jang, March 3, 1997
fprintf(‘Start of test.m!\n‘);
for i = 1:3,
fprintf(‘i = %d ---> i^3 = %d\n‘, i, i^3);
end
fprintf(‘End of test.m!\n‘);
test % 執行test.m
Start of test.m!
i = 1 ---> i^3 = 1
i = 2 ---> i^3 = 8
i = 3 ---> i^3 = 27
End of test.m!
小提示：第一註解行（H1 help line） test.m的前兩行是註解，可以使程式易於了解與管理。特別要說明的是，第一註解行通常用來簡短說明此M檔案的功能，以便lookfor能以關鍵字比對的方式來找出此M檔案。舉例來說，test.m的第一註解行包含test這個字，因此如果鍵入lookfor test，MATLAB即可列出所有在第一註解行包含test的M檔案，因而test.m也會被列名在內。
嚴格來說，M檔案可再細分為命令集（Scripts）及函數（Functions）。前述的test.m即為命令集，其效用和將命令逐一輸入完全一樣，因此若在命令集可以直接使用工作空間的變數，而且在命令集中設定的變數，也都在工作空間中看得到。函數則需要用到輸入引數（Input arguments）和輸出引數（Output arguments）來傳遞資訊，這就像是C語言的函數,或是FORTRAN語言的副程序（Subroutines）。舉例來說，若要計算一個正整數的階乘 （Factorial），我們可以寫一個如下的MATLAB函數並將之存檔於fact.m：
function output = fact(n)
% FACT Calculate factorial of a given positive integer.
output = 1;
for i = 1:n,
output = output*i;
end
其中fact是函數名，n是輸入引數，output是輸出引數，而i則是此函數用到的暫時變數。要使用此函數，直接鍵入函數名及適當輸入引數值即可：
y = fact(5)
y = 120
（當然，在執行fact之前，你必須先進入fact.m所在的目錄。）在執行fact(5)時，
MATLAB會跳入一個下層的暫時工作空間（Temperary workspace），將變數n的值設定為5，然後進行各項函數的內部運算，所有內部運算所產生的變數（包含輸入引數n、暫時變數i，以及輸出引數output）都存在此暫時工作空間中。運算完畢後，MATLAB會將最後輸出引數output的值設定給上層的變數y，並將清除此暫時工作空間及其所含的所有變數。換句話說，在呼叫函數時，你只能經由輸入引數來控制函數的輸入，經由輸出引數來得到函數的輸出，但所有的暫時變數都會隨著函數的結束而消失，你並無法得到它們的值。
小提示：有關階乘函數 前面（及後面）用到的階乘函數只是純粹用來說明MATLAB的函數觀念。若實際要計算一個正整數n的階乘（即n!）時，可直接寫成prod(1:n)，或是直接呼叫gamma函數：gamma(n-1)。
MATLAB的函數也可以是遞式的（Recursive），也就是說，一個函數可以呼叫它本身。
舉例來說，n! = n*(n-1)!，因此前面的階乘函數可以改成遞式的寫法：
function output = fact(n)
% FACT Calculate factorial of a given positive integerrecursively.
if n == 1, % Terminating condition
output = 1;
return;
end
output = n*fact(n-1);
在寫一個遞函數時，一定要包含結束條件（Terminating condition），否則此函數將會一再呼叫自己，永遠不會停止，直到電腦的記憶體被耗盡為止。以上例而言，n==1即滿足結束條件，此時我們直接將output設為1，而不再呼叫此函數本身。
1.5 搜尋路徑
在前一節中，test.m所在的目錄是d:\mlbook。如果不先進入這個目錄，MATLAB就找不到你要執行的M檔案。如果希望MATLAB不論在何處都能執行test.m，那麼就必須將d:\mlbook加入MATLAB的搜尋路徑（Search path）上。要檢視MATLAB的搜尋路徑，鍵入path即可：
path
MATLABPATH
d:\matlab5\toolbox\matlab\general
d:\matlab5\toolbox\matlab\ops
d:\matlab5\toolbox\matlab\lang
d:\matlab5\toolbox\matlab\elmat
d:\matlab5\toolbox\matlab\elfun
d:\matlab5\toolbox\matlab\specfun
d:\matlab5\toolbox\matlab\matfun
d:\matlab5\toolbox\matlab\datafun
d:\matlab5\toolbox\matlab\polyfun
d:\matlab5\toolbox\matlab\funfun
d:\matlab5\toolbox\matlab\sparfun
d:\matlab5\toolbox\matlab\graph2d
d:\matlab5\toolbox\matlab\graph3d
d:\matlab5\toolbox\matlab\specgraph
d:\matlab5\toolbox\matlab\graphics
d:\matlab5\toolbox\matlab\uitools
d:\matlab5\toolbox\matlab\strfun
d:\matlab5\toolbox\matlab\iofun
d:\matlab5\toolbox\matlab\timefun
d:\matlab5\toolbox\matlab\datatypes
d:\matlab5\toolbox\matlab\dde
d:\matlab5\toolbox\matlab\demos
d:\matlab5\toolbox\tour
d:\matlab5\toolbox\simulink\simulink
d:\matlab5\toolbox\simulink\blocks
d:\matlab5\toolbox\simulink\simdemos
d:\matlab5\toolbox\simulink\dee
d:\matlab5\toolbox\local
此搜尋路徑會依已安裝的工具箱（Toolboxes）不同而有所不同。要查詢某一命令是在搜尋路徑的何處，可用which命令：
which expo
d:\matlab5\toolbox\matlab\demos\expo.m
很顯然c:\data\mlbook並不在MATLAB的搜尋路徑中，因此MATLAB找不到test.m這個M檔案：
which test
c:\data\mlbook\test.m
要將d:\mlbook加入MATLAB的搜尋路徑，還是使用path命令：
path(path, ‘c:\data\mlbook‘);
此時d:\mlbook已加入MATLAB搜尋路徑（鍵入path試看看），因此MATLAB已經"看"得到
test.m:
which test
c:\data\mlbook\test.m
現在我們就可以直接鍵入test，而不必先進入test.m所在的目錄。
小提示：如何在其啟動MATLAB時，自動設定所需的搜尋路徑？ 如果在每一次啟動MATLAB後都要設定所需的搜尋路徑，將是一件很麻煩的事。有兩種方法，可以使MATLAB啟動後 ，即可載入使用者定義的搜尋路徑：
1.MATLAB的預設搜尋路徑是定義在matlabrc.m（在c:\matlab之下，或是其他安裝MATLAB 的主目錄下），MATLAB每次啟動後，即自動執行此檔案。因此你可以直接修改matlabrc.m ，以加入新的目錄於搜尋路徑之中。
2.MATLAB在執行matlabrc.m時，同時也會在預設搜尋路徑中尋找startup.m，若此檔案存在，則執行其所含的命令。因此我們可將所有在MATLAB啟動時必須執行的命令（包含更改搜尋路徑的命令），放在此檔案中。
每次MATLAB遇到一個命令（例如test）時，其處置程序為：
1.將test視為使用者定義的變數。
2.若test不是使用者定義的變數，將其視為永久常數 。
3.若test不是永久常數，檢查其是否為目前工作目錄下的M檔案。
4.若不是，則由搜尋路徑尋找是否有test.m的檔案。
5.若在搜尋路徑中找不到，則MATLAB會發出嗶嗶聲並印出錯誤訊息。
以下介紹與MATLAB搜尋路徑相關的各項命令。
1.6 資料的儲存與載入
有些計算曠日廢時，那麼我們通常希望能將計算所得的儲存在檔案中，以便將來可進行其他處理。MATLAB儲存變數的基本命令是save，在不加任何選項（Options）時，save會將變數以二進制（Binary）的方式儲存至副檔名為mat的檔案，如下述：
save：將工作空間的所有變數儲存到名為matlab.mat的二進制檔案。
save filename：將工作空間的所有變數儲存到名為filename.mat的二進制檔案。 save filename x y z ：將變數x、y、z儲存到名為filename.mat的二進制檔案。
以下為使用save命令的一個簡例：
who % 列出工作空間的變數
Your variables are:
B h j y
ans i x z
save test B y % 將變數B與y儲存至test.mat
dir % 列出現在目錄中的檔案
. 2plotxy.doc fact.m simulink.doc test.m ~$1basic.doc
.. 3plotxyz.doc first.doc temp.doc test.mat
1basic.doc book.dot go.m template.doc testfile.dat
delete test.mat % 刪除test.mat
以二進制的方式儲存變數，通常檔案會比較小，而且在載入時速度較快，但是就無法用普通的文書軟體（例如pe2或記事本）看到檔案內容。若想看到檔案內容，則必須加上-ascii選項，詳見下述：
save filename x -ascii：將變數x以八位數存到名為filename的ASCII檔案。
Save filename x -ascii -double：將變數x以十六位數存到名為filename的ASCII檔案。
另一個選項是-tab，可將同一列相鄰的數目以定位鍵（Tab）隔開。
小提示：二進制和ASCII檔案的比較 在save命令使用-ascii選項後，會有下列現象:save命令就不會在檔案名稱後加上mat的副檔名。
因此以副檔名mat結尾的檔案通常是MATLAB的二進位資料檔。
若非有特殊需要，我們應該盡量以二進制方式儲存資料。
load命令可將檔案載入以取得儲存之變數：
load filename：load會尋找名稱為filename.mat的檔案，並以二進制格式載入。若找不到filename.mat，則尋找名稱為filename的檔案，並以ASCII格式載入。load filename-ascii：load會尋找名稱為filename的檔案，並以ASCII格式載入。
若以ASCII格式載入，則變數名稱即為檔案名稱（但不包含副檔名）。若以二進制載入，則可保留原有的變數名稱，如下例：
clear all; % 清除工作空間中的變數
x = 1:10;
save testfile.dat x -ascii % 將x以ASCII格式存至名為testfile.dat的檔案
load testfile.dat % 載入testfile.dat
who % 列出工作空間中的變數
Your variables are:
testfile x
註意在上述過程中，由於是以ASCII格式儲存與載入，所以產生了一個與檔案名稱相同的變數testfile，此變數的值和原變數x完全相同。
1.7 結束MATLAB
有三種方法可以結束MATLAB：
1.鍵入exit
2.鍵入quit
3.直接關閉MATLAB的命令視窗（Command window）
2 數值分析
2.1 微分
diff函數用以演算一函數的微分項，相關的函數語法有下列4個：
diff(f) 傳回f對預設獨立變數的一次微分值
diff(f,‘t‘) 傳回f對獨立變數t的一次微分值
diff(f,n) 傳回f對預設獨立變數的n次微分值
diff(f,‘t‘,n) 傳回f對獨立變數t的n次微分值
數值微分函數也是用diff，因此這個函數是靠輸入的引數決定是以數值或是符號微分，如果引數為向量則執行數值微分，如果引數為符號表示式則執行符號微分。
先定義下列三個方程式，接著再演算其微分項：
>>S1 = ‘6*x^3-4*x^2+b*x-5‘;
>>S2 = ‘sin(a)‘;
>>S3 = ‘(1 - t^3)/(1 + t^4)‘;
>>diff(S1)
ans=18*x^2-8*x+b
>>diff(S1,2)
ans= 36*x-8
>>diff(S1,‘b‘)
ans= x
>>diff(S2)
ans=
cos(a)
>>diff(S3)
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3
>>simplify(diff(S3))
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2
2.2 積分
int函數用以演算一函數的積分項， 這個函數要找出一符號式 F 使得diff(F)=f。如果積
分式的解析式(analytical form, closed form) 不存在的話或是MATLAB無法找到，則int 傳回原輸入的符號式。相關的函數語法有下列 4個：
int(f) 傳回f對預設獨立變數的積分值
int(f,‘t‘) 傳回f對獨立變數t的積分值
int(f,a,b) 傳回f對預設獨立變數的積分值，積分區間為[a,b]，a和b為數值式
int(f,‘t‘,a,b) 傳回f對獨立變數t的積分值，積分區間為[a,b]，a和b為數值式
int(f,‘m‘,‘n‘) 傳回f對預設變數的積分值，積分區間為[m,n]，m和n為符號式
我們示範幾個例子：
>>S1 = ‘6*x^3-4*x^2+b*x-5‘;
>>S2 = ‘sin(a)‘;
>>S3 = ‘sqrt(x)‘;
>>int(S1)
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x
>>int(S2)
ans= -cos(a)
>>int(S3)
ans= 2/3*x^(3/2)
>>int(S3,‘a‘,‘b‘)
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2)
>>int(S3,0.5,0.6)
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2)
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函數可以計算積分的數值
ans= 0.0741
2.3 求解常微分方程式
MATLAB解常微分方程式的語法是dsolve(‘equation‘,‘condition‘)，其中equation代表常微分方程式即y‘=g(x,y)，且須以Dy代表一階微分項y‘ D2y代表二階微分項y‘‘ ，
condition則為初始條件。
假設有以下三個一階常微分方程式和其初始條件
y‘=3x2, y(2)=0.5
y‘=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25
y‘=3y+exp(2x), y(0)=3
對應上述常微分方程式的符號運算式為：
>>soln_1 = dsolve(‘Dy =3*x^2‘,‘y(2)=0.5‘)
ans= x^3-7.500000000000000
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看這個函數的長相
>>soln_2 = dsolve(‘Dy =2*x*cos(y)^2‘,‘y(0) = pi/4‘)
ans= atan(x^2+1)
>>soln_3 = dsolve(‘Dy = 3*y +exp(2*x)‘,‘ y(0) = 3‘)
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x)
2.4 非線性方程式的實根
要求任一方程式的根有三步驟：
先定義方程式。要註意必須將方程式安排成 f(x)=0 的形態，例如一方程式為sin(x)=3，
則該方程式應表示為f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定義方程式。
代入適當範圍的 x, y(x) 值，將該函數的分布圖畫出，藉以了解該方程式的「長相」。
由圖中決定y(x)在何處附近(x0)與 x 軸相交，以fzero的語法fzero(‘function‘,x0)即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定義的函數名稱。如果從函數分布圖看出根不只一個，則須再代入另一個在根附近的 x0，再求出下一個根。
以下分別介紹幾數個方程式，來說明如何求解它們的根。
例一、方程式為
sin(x)=0
我們知道上式的根有 ，求根方式如下：
>> r=fzero(‘sin‘,3) % 因為sin(x)是內建函數，其名稱為sin，因此無須定義它,選擇 x=3 附近求根
r=3.1416
>> r=fzero(‘sin‘,6) % 選擇 x=6 附近求根
r = 6.2832
例二、方程式為MATLAB 內建函數 humps，我們不須要知道這個方程式的形態為何，不過我們可以將它劃出來，再找出根的位置。求根方式如下：
>> x=linspace(-2,3);
>> y=humps(x);
>> plot(x,y), grid % 由圖中可看出在0和1附近有二個根
>> r=fzero(‘humps‘,1.2)
r = 1.2995
例三、方程式為y=x.^3-2*x-5
這個方程式其實是個多項式，我們說明除了用 roots 函數找出它的根外，也可以用這節介紹的方法求根，註意二者的解法及結果有所不同。求根方式如下：
% m-function, f_1.m
function y=f_1(x) % 定義 f_1.m 函數
y=x.^3-2*x-5;
>> x=linspace(-2,3);
>> y=f_1(x);
>> plot(x,y), grid % 由圖中可看出在2和-1附近有二個根
>> r=fzero(‘f_1‘,2); % 決定在2附近的根
r = 2.0946
>> p=[1 0 -2 -5]
>> r=roots(p) % 以求解多項式根方式驗證
r =
2.0946
-1.0473 + 1.1359i
-1.0473 - 1.1359i
2.5 線性代數方程（組）求解
我們習慣將上組方程式以矩陣方式表示如下
AX=B
其中 A 為等式左邊各方程式的系數項，X 為欲求解的未知項，B 代表等式右邊之已知項
要解上述的聯立方程式，我們可以利用矩陣左除 \ 做運算，即是 X=A\B。
如果將原方程式改寫成 XA=B
其中 A 為等式左邊各方程式的系數項，X 為欲求解的未知項，B 代表等式右邊之已知項
註意上式的 X, B 已改寫成列向量，A其實是前一個方程式中 A 的轉置矩陣。上式的 X 可以矩陣右除 / 求解，即是 X=B/A。
若以反矩陣運算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改寫成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。
我們直接以下面的例子來說明這三個運算的用法：
>> A=[3 2-1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 將等式的左邊系數鍵入
>> B=[10 5 -1]‘; % 將等式右邊之已知項鍵入，B要做轉置
>> X=A\B % 先以左除運算求解
X = % 註意X為行向量
-2
5
6
>> C=A*X % 驗算解是否正確
C = % C=B
10
5
-1
>> A=A‘; % 將A先做轉置
>> B=[10 5 -1];
>> X=B/A % 以右除運算求解的結果亦同
X = % 註意X為列向量
10 5 -1
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩陣運算求解
3 基本xy平面繪圖命令
MATLAB不但擅長於矩陣相關的數值運算，也適合用在各種科學目視表示（Scientificvisualization）。
本節將介紹MATLAB基本xy平面及xyz空間的各項繪圖命令，包含一維曲線及二維曲面的繪制、列印及存檔。
plot是繪制一維曲線的基本函數，但在使用此函數之前，我們需先定義曲線上每一點的x 及y座標。
下例可畫出一條正弦曲線：
close all;
x=linspace(0, 2*pi, 100); % 100個點的x座標
y=sin(x); % 對應的y座標
plot(x,y);
小整理：MATLAB基本繪圖函數
plot: x軸和y軸均為線性刻度（Linear scale）
loglog: x軸和y軸均為對數刻度（Logarithmic scale）
semilogx: x軸為對數刻度，y軸為線性刻度
semilogy: x軸為線性刻度，y軸為對數刻度
若要畫出多條曲線，只需將座標對依次放入plot函數即可：
plot(x, sin(x), x, cos(x));
若要改變顏色，在座標對後面加上相關字串即可：
plot(x, sin(x), ‘c‘, x, cos(x), ‘g‘);
若要同時改變顏色及圖線型態（Line style），也是在座標對後面加上相關字串即可：
plot(x, sin(x), ‘co‘, x, cos(x), ‘g*‘);
小整理：plot繪圖函數的叁數 字元 顏色字元 圖線型態y 黃色. 點k 黑色o 圓w 白色x xb 藍色+ +g 綠色* *r 紅色- 實線c 亮青色: 點線m 錳紫色-. 點虛線-- 虛線
圖形完成後，我們可用axis([xmin,xmax,ymin,ymax])函數來調整圖軸的範圍：
axis([0, 6, -1.2, 1.2]);
此外，MATLAB也可對圖形加上各種註解與處理：
xlabel(‘Input Value‘); % x軸註解
ylabel(‘Function Value‘); % y軸註解
title(‘Two Trigonometric Functions‘); % 圖形標題
legend(‘y = sin(x)‘,‘y = cos(x)‘); % 圖形註解
grid on; % 顯示格線
我們可用subplot來同時畫出數個小圖形於同一個視窗之中：
subplot(2,2,1); plot(x, sin(x));
subplot(2,2,2); plot(x, cos(x));
subplot(2,2,3); plot(x, sinh(x));
subplot(2,2,4); plot(x, cosh(x));
MATLAB還有其他各種二維繪圖函數，以適合不同的應用，詳見下表。
小整理：其他各種二維繪圖函數
bar 長條圖
errorbar 圖形加上誤差範圍
fplot 較精確的函數圖形
polar 極座標圖
hist 累計圖
rose 極座標累計圖
stairs 階梯圖
stem 針狀圖
fill 實心圖
feather 羽毛圖
compass 羅盤圖
quiver 向量場圖
以下我們針對每個函數舉例。
當資料點數量不多時，長條圖是很適合的表示方式：
close all; % 關閉所有的圖形視窗
x=1:10;
y=rand(size(x));
bar(x,y);
如果已知資料的誤差量，就可用errorbar來表示。下例以單位標準差來做資的誤差量：
x = linspace(0,2*pi,30);
y = sin(x);
e = std(y)*ones(size(x));
errorbar(x,y,e)
對於變化劇烈的函數，可用fplot來進行較精確的繪圖，會對劇烈變化處進行較密集的取樣，如下例：
fplot(‘sin(1/x)‘, [0.02 0.2]); % [0.02 0.2]是繪圖範圍
若要產生極座標圖形，可用polar：
theta=linspace(0, 2*pi);
r=cos(4*theta);
polar(theta, r);
對於大量的資料，我們可用hist來顯示資料的分 情況和統計特性。下面幾個命令可用來驗證randn產生的高斯亂數分 ：
x=randn(5000, 1); % 產生5000個 m=0，s=1 的高斯亂數
hist(x,20); % 20代表長條的個數
rose和hist很接近，只不過是將資料大小視為角度，資料個數視為距離，並用極座標繪制
表示：
x=randn(1000, 1);
rose(x);
stairs可畫出階梯圖：
x=linspace(0,10,50);
y=sin(x).*exp(-x/3);
stairs(x,y);
stems可產生針狀圖，常被用來繪制數位訊號：
x=linspace(0,10,50);
y=sin(x).*exp(-x/3);
stem(x,y);
stairs將資料點視為多邊行頂點，並將此多邊行塗上顏色：
x=linspace(0,10,50);
y=sin(x).*exp(-x/3);
fill(x,y,‘b‘); % ‘b‘為藍色
feather將每一個資料點視復數，並以箭號畫出：
theta=linspace(0, 2*pi, 20);
z = cos(theta)+i*sin(theta);
feather(z);
compass和feather很接近，只是每個箭號的起點都在圓點：
theta=linspace(0, 2*pi, 20);
z = cos(theta)+i*sin(theta);
compass(z);
4 基本XYZ立體繪圖命令
在科學目視表示（Scientific visualization）中，三度空間的立體圖是一個非常重要的技巧。本章將介紹MATLAB基本XYZ三度空間的各項繪圖命令。
mesh和plot是三度空間立體繪圖的基本命令，mesh可畫出立體網狀圖，plot則可畫出立體曲面圖，兩者產生的圖形都會依高度而有不同顏色。
下列命令可畫出由函數<圖片>形成的立體網狀圖:
x=linspace(-2, 2, 25); % 在x軸上取25點
y=linspace(-2, 2, 25); % 在y軸上取25點
[xx,yy]=meshgrid(x, y); % xx和yy都是21x21的矩陣
zz=xx.*exp(-xx.^2-yy.^2); % 計算函數值，zz也是21x21的矩陣
mesh(xx, yy, zz); % 畫出立體網狀圖
surf和mesh的用法類似：
x=linspace(-2, 2, 25); % 在x軸上取25點
y=linspace(-2, 2, 25); % 在y軸上取25點
[xx,yy]=meshgrid(x, y); % xx和yy都是21x21的矩陣
zz=xx.*exp(-xx.^2-yy.^2); % 計算函數值，zz也是21x21的矩陣
surf(xx, yy, zz); % 畫出立體曲面圖
為了方便測試立體繪圖，MATLAB提供了一個peaks函數，可產生一個凹凸有致的曲面，包含了三個局部極大點及三個局部極小點
要畫出此函數的最快方法即是直接鍵入peaks：
peaks
z = 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ...
- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ...
- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2)
我們亦可對peaks函數取點，再以各種不同方法進行繪圖。
meshz可將曲面加上圍裙：
[x,y,z]=peaks;
meshz(x,y,z);
axis([-inf inf -inf inf -inf inf]);
waterfall可在x方向或y方向產生水流效果：
[x,y,z]=peaks;
waterfall(x,y,z);
axis([-inf inf -inf inf -inf inf]);
下列命令產生在y方向的水流效果：
[x,y,z]=peaks;
waterfall(x‘,y‘,z‘);
axis([-inf inf -inf inf -inf inf]);
meshc同時畫出網狀圖與等高線：
[x,y,z]=peaks;
meshc(x,y,z);
axis([-inf inf -inf inf -inf inf]);
surfc同時畫出曲面圖與等高線：
[x,y,z]=peaks;
surfc(x,y,z);
axis([-inf inf -inf inf -inf inf]);
contour3畫出曲面在三度空間中的等高線：
contour3(peaks, 20);
axis([-inf inf -inf inf -inf inf]);
contour畫出曲面等高線在XY平面的投影：
contour(peaks, 20);
plot3可畫出三度空間中的曲線：
t=linspace(0,20*pi, 501);
plot3(t.*sin(t), t.*cos(t), t);
亦可同時畫出兩條三度空間中的曲線：
t=linspace(0, 10*pi, 501);
plot3(t.*sin(t), t.*cos(t), t, t.*sin(t), t.*cos(t), -t);
5 三維網圖的高級處理
5.1 消隱處理
例.比較網圖消隱前後的圖形
z=peaks(50);
subplot(2,1,1);
mesh(z);
title(‘消隱前的網圖‘)
hidden off
subplot(2,1,2)
mesh(z);
title(‘消隱後的網圖‘)
hidden on
colormap([0 0 1])
5.2 裁剪處理
利用不定數NaN的特點,可以對網圖進行裁剪處理
例.圖形裁剪處理
P=peaks(30);
subplot(2,1,1);
mesh(P);
title(‘裁剪前的網圖‘)
subplot(2,1,2);
P(20:23,9:15)=NaN*ones(4,7); %剪孔
meshz(P) %垂簾網線圖
title(‘裁剪後的網圖‘)
colormap([0 0 1]) %藍色網線
註意裁剪時矩陣的對應關系,即大小一定要相同.
5.3 三維旋轉體的繪制
為了一些專業用戶可以更方便地繪制出三維旋轉體,MATLAB專門提供了2個函數:柱面函數cylinder和球面函數sphere
(1) 柱面圖
柱面圖繪制由函數cylinder實現.
[X,Y,Z]=cylinder(R,N) 此函數以母線向量R生成單位柱面.母線向量R是在單位高度裏等分刻度上定義的半徑向量.N為旋轉圓周上的分格線的條數.可以用surf(X,Y,Z)來表示此柱面.
[X,Y,Z]=cylinder(R)或[X,Y,Z]=cylinder此形式為默認N=20且R=[1 1]
例.柱面函數演示舉例
x=0:pi/20:pi*3;
r=5+cos(x);
[a,b,c]=cylinder(r,30);
mesh(a,b,c)
例.旋轉柱面圖.
r=abs(exp(-0.25*t).*sin(t));
t=0:pi/12:3*pi;
r=abs(exp(-0.25*t).*sin(t));
[X,Y,Z]=cylinder(r,30);
mesh(X,Y,Z)
colormap([1 0 0])
(2).球面圖
球面圖繪制由函數sphere來實現
[X,Y,Z]=sphere(N) 此函數生成3個(N+1)*(N+1)的矩陣,利用函數 surf(X,Y,Z) 可產生單位球面.
[X,Y,Z]=sphere 此形式使用了默認值N=20.
Sphere(N) 只是繪制了球面圖而不返回任何值.
例.繪制地球表面的氣溫分布示意圖.
[a,b,c]=sphere(40);
t=abs(c);
surf(a,b,c,t);
axis(‘equal‘) %此兩句控制坐標軸的大小相同.
axis(‘square‘)
colormap(‘hot‘)
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