Sightseeing Cows

給出一張圖，點數為L，邊數P，並給出邊的邊權\(\{b_i\}\),再給處每個點的點權，求一條起點和終點相同的路徑，並使其點權之和除以邊權之和最大，註意，路徑中點權只能被計算一次，而邊權可以重復計算， (2 ≤ L ≤ 1000)， (2 ≤ P ≤ 5000)。

解

顯然為分數規劃問題，關鍵在點權與邊權不對應上，於是自然的想法是點權移邊權，而一條起點與終點相同的路徑即一個聯通分量，所以問題現在在於點權移邊權後只對環成立，而不對聯通分量成立，於是考慮證明聯通分量對結果沒有影響，於是設一個大環它的路徑長\(b_1\)，點權\(a_1\),一個小環路徑長\(b_2\),點權\(a_2\)

不難得知,大環的比率為\(\frac{a_1}{b_1}\)，小環比率\(\frac{a_2}{b_2}\)，而套在一起的環比率仍按照不去點權算為\(\frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}\),由相加變小結論，我們知道\(\frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}\leq max(\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2})\)

所以我們可以知道實際上環套環，即聯通分量對結果沒有影響，於是移點下邊，接下來照著最優比率環的基本套路即可，但是註意此處要算出一個具體的比較大的ans很難做到，於是叠代就不能使用了，但是你的聰明才智或許能想到一種好的解決辦法。

參考代碼：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
#define exact 0.000001
using namespace std;
struct point{
    int next,to,a,b;
    double c;
}ar[5001];int at;
bool is[1001];
double dis[10001];
int f[1001],head[1001],n,
    t1[4000001],tot[1001];
il bool check(double);
il double dfs(double,double);
il void link(int,int,int,int),read(int&);
int main(){
    int m,i,j,k;
    read(n),read(m);
    for(i=1;i<=n;++i)read(f[i]);
    while(m--)read(i),read(j),read(k),
                  link(i,j,f[j],k);
    printf("%.2lf",dfs(0,100));
    return 0;
}
il bool check(double x){
    int i,h(0),t(0);
    memset(is,0,sizeof(is)),memset(tot,0,sizeof(tot)),
        memset(dis,0,sizeof(dis));
    for(i=1;i<=n;++i)t1[++t]=i;
    for(i=1;i<=at;++i)
        ar[i].c=ar[i].b*x-ar[i].a;
    while(h<t){
        ++h,is[t1[h]]|=true;
        for(i=head[t1[h]];i;i=ar[i].next)
            if(ar[i].c+dis[t1[h]]<dis[ar[i].to]){
                dis[ar[i].to]=ar[i].c+dis[t1[h]];
                if(is[ar[i].to]){
                    t1[++t]=ar[i].to,is[ar[i].to]&=false;
                    if(++tot[ar[i].to]>=n)return true;
                }
            }
    }return false;
}
il double dfs(double l,double r){
    double mid;
    while(r-l>exact){
        mid=(l+r)/2;
        if(check(mid))l=mid+exact;
        else r=mid-exact;
    }return (l+r)/2;
}
il void read(int &x){
    x&=0;ri char c;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
}
il void link(int x,int y,int a,int b){
    ar[++at].a=a,ar[at].b=b,ar[at].to=y;
    ar[at].next=head[x],head[x]=at;
}
 

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