【LGP4389】付公主的背包
題目
退役前抄一道生成函數快樂一下
就是讓我們做一個完全背包,但是樸素的做法顯然是\(O(nm)\)的
把每一個物品搞成一個多項式,顯然這個多項式所有\(v_i\)的倍數箱為\(1\),剩下的為\(0\)
我們寫成生成函數的話就是\(\frac{1}{1-x^{v_i}}\)
也就是我們我們要求的答案就是
\[\prod_{i=1}^n\frac{1}{1-x^{v_i}}\]
直接大力卷積是 \(O(nmlogn)\)的,好像還比暴力慢了一點
發現連乘並不是很好處理,考慮取一個\(\ln\)
變成
\[e^{\sum_{i=1}^n\ln(\frac{1}{1-x^{v_i}})}\]
也就是我們求出\(\sum_{i=1}^n\ln(\frac{1}{1-x^{v_i}})\)
考慮一下這個東西怎麽求,先背一下定理\(\ln(\frac{1}{1-x^k})=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i}x^{ki}\)
證明一下
\[\begin{aligned} \ln(\frac{1}{1-x^k})&=\int (1-x^k)(\frac{1}{1-x^k})'dx\\&=\int (1-x^k)\sum_{i=1}^{\infty}ki\times x^{ki-1}dx\\&=\int (\sum_{i=1}^{\infty}ki\times x^{ki-1}-\sum_{i=1}^{\infty}ki\times x^{ki-1}\times x^k)dx\\&=\int (\sum_{i=1}^{\infty}ki\times x^{ki-1}-\sum_{i=1}^{\infty}k(i-1)\times x^{ki-1})dx\\&=\int \sum_{i=1}^{\infty} kx^{ki-1}dx\\&=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i}x^{ki}\end{aligned}\]
於是我們調和級數搞一下\(\sum_{i=1}^n\ln(\frac{1}{1-x^{v_i}})\)之後\(\exp\)就好了
代碼
#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define re register #define LL long long #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b)) inline int read() { char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar(); while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x; } const int maxn=262144+5; const int mod=998244353; const int G[2]={3,(mod+1)/3}; int n,m,len; int K[maxn],g[maxn],T[maxn],C[maxn],rev[maxn],inv[maxn],a[maxn],b[maxn],tax[maxn]; inline int ksm(int a,int b) { int S=1; while(b) {if(b&1) S=1ll*S*a%mod;b>>=1;a=1ll*a*a%mod;} return S; } inline void NTT(int *f,int o) { for(re int i=0;i<len;i++) if(i<rev[i]) std::swap(f[i],f[rev[i]]); for(re int i=2;i<=len;i<<=1) { int ln=i>>1,og1=ksm(G[o],(mod-1)/i); for(re int l=0;l<len;l+=i) { int t,og=1; for(re int x=l;x<l+ln;++x) { t=1ll*og*f[x+ln]%mod; f[x+ln]=(f[x]-t+mod)%mod; f[x]=(f[x]+t)%mod; og=1ll*og*og1%mod; } } } if(!o) return; int Inv=inv[len]; for(re int i=0;i<len;i++) f[i]=1ll*f[i]*Inv%mod; } void Inv(int n,int *A,int *B) { if(n==1) {B[0]=ksm(A[0],mod-2);return;} Inv((n+1)>>1,A,B); len=1;while(len<n+n) len<<=1; for(re int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?len>>1:0); for(re int i=0;i<n;i++) g[i]=A[i]; for(re int i=n;i<len;i++) g[i]=0; NTT(g,0),NTT(B,0); for(re int i=0;i<len;i++) B[i]=(2ll*B[i]-1ll*g[i]*B[i]%mod*B[i]%mod+mod)%mod; NTT(B,1);for(re int i=n;i<len;i++) B[i]=0; } void Ln(int n,int *A,int *B) { memset(C,0,sizeof(C)),memset(T,0,sizeof(T));memset(B,0,sizeof(B)); for(re int i=1;i<n;i++) T[i-1]=1ll*i*A[i]%mod; Inv(n,A,C);len=1;while(len<n+n) len<<=1; for(re int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?len>>1:0); NTT(C,0),NTT(T,0); for(re int i=0;i<len;i++) C[i]=1ll*C[i]*T[i]%mod; NTT(C,1);for(re int i=1;i<n;i++) B[i]=1ll*C[i-1]*inv[i]%mod; } void Exp(int n,int *A,int *B) { if(n==1) {B[0]=1;return;} Exp((n+1)>>1,A,B);Ln(n,B,K); len=1;while(len<n+n) len<<=1; for(re int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?len>>1:0); for(re int i=0;i<n;i++) K[i]=(A[i]-K[i]+mod)%mod; for(re int i=n;i<len;i++) K[i]=0;K[0]++; NTT(B,0);NTT(K,0); for(re int i=0;i<len;i++) B[i]=1ll*B[i]*K[i]%mod; NTT(B,1);for(re int i=n;i<len;i++) B[i]=0; } int main() { inv[1]=1; for(re int i=2;i<maxn;i++) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; n=read(),m=read()+1; for(re int i=1;i<=n;i++) tax[read()]++; for(re int i=1;i<=m;i++) { if(!tax[i]) continue; for(re int j=1;j*i<=m;j++) a[j*i]=(a[j*i]+1ll*inv[j]*tax[i]%mod)%mod; } Exp(m,a,b); for(re int i=1;i<m;i++) printf("%d\n",b[i]); return 0; }
【LGP4389】付公主的背包