給定地球上兩點的經緯度,求兩點之間沿地球表面最短的弧線距離
阿新 • • 發佈:2019-05-14
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問題:
設地球上的兩點A和B的的經緯度分別為A:a1, a2 (a1,a2的單位為度,a1表示經度,a2表示緯度,B亦然) 和B:b1,b2。如下圖所示。現在想求出A和B兩點之間沿著地球表面最短的弧線距離(圖中紅線標出部分)。
思考:
假設地球是個標準的球體(實際上地球是一個兩極稍扁,赤道略鼓的橢球),很顯然,只要知道A、B兩點與地球球心形成的夾角θ(單位為弧度),設地球半徑為R(R通常取為6371Km),則A、B兩點之間沿地球表面最短的弧線距離為R*θ,所以問題變為求θ。
求解過程:
設A點所在經線與赤道交於點C, B點所在經線與赤道交於點D。
延長射線OA,與“過點C且垂直於赤道所在平面的直線”交於點E;
延長射線OB,與“過點D且垂直於赤道所在平面的直線”交於點F。
過F作垂直於直線CE的直線,垂足為H。
這裏令
註:a1表示經度,a2表示緯度,b亦然。
有三角函數的知識知:
對於三角形COD來說,由“余弦定理”有
帶入即
把上面求得的DF和CE帶入,得
所以在直角三角形EHF中
在三角形OEF中,利用三角形“余弦定理”有
帶入即
整理得
所以
從而A和B兩點之間沿地球表面最短的弧線距離為:
給定地球上兩點的經緯度,求兩點之間沿地球表面最短的弧線距離