遞迴介紹

首先來說一下遞迴，我們不講概念，我只說一下遞迴本身，有需要的同學請自行查閱資料。

遞迴分兩個階段，遞和歸

• 遞：是用來描述函式在何種情況下需要呼叫自身遞下去
• 歸：是用來限定函式何時迴歸，因為程式不可能無限制的走下去

我們用數學表示式來看一下什麼是遞迴的表示

f(x，y) = x * f(x, y - 1)
f(x, 1) = x

上面的結構就是遞迴的數學表示啦，第一個函式式是定義了函式如何遞下去，第二個函式式定義了函式如何歸回來。

遞迴的缺點

上面的例子其實是求x的y次冪，按照遞迴的思想，我們計算表示式的結果需要把x連乘y次，乍看起來沒什麼，但如果當y的次數足夠大的時候，程式就可能會執行很慢，更甚至會發生爆棧的情況（也就是通常說的棧溢位）。

比如我們求2的21次冪的話，常規演算法就是把2連乘21次，相應程式碼如下：

/**
  * @param x 底數
  * @param y 指數
  * @return x的y次冪
  */
long power(int x, int y) {
	long res = 1;
	for(int i = 1; i <= b; i++) {
		res *= a;
	}
	return  res;
}

是不是覺得有點low，那我們用遞迴的思想寫一個方法

/**
  * @param x 底數
  * @param y 指數
  * @return x的y次冪
  */
long power(int x, int y) {
	if(y == 1) {
		return x;
	} else {
		return power(x, y-1)
	}
}
 

上面兩個方法都不好，因為複雜度還是O(n)

所以為了解決這個問題，我們引出一個概念：整數快速冪

整數快速冪

所謂快速冪，就是快速求冪次。

利用我們學過二進位制，比如 21 ，它的二進位制數字為 10101 ，也就是他可以分成21 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1，也就是21 = 1 * 2^4 + 1 * 2^2 + 1 * 2^0。

那麼我們計算2的21次冪就可以這麼算了 我們這樣分解2^21 = 2^16 * 2^4 * 2^1

如果要降低複雜度，首先應該是降低迴圈次數，再次就是降低重複計算的次數

先看程式碼

/**
  * @param x 底數
  * @param y 指數
  * @return x的y次冪
  */
long power(int x, int y) {
	long res = 1;
	while(y) {
		if(y&1) {
			res = res * x;    //如果二進位制最低位為1，則乘上x^(2^i) 
		}
		x = x * x;            //將x平方 
		y >>= 1;            　//右移 相當於n/2
	}
	return res;
}
 

這裡解釋一下，y&1是進行的與運算，相當於判斷y的二進位制表示最低為是不是1，>>這個是右移運算子，就是把當前數的二進位制表示向右移動一位，就是把10101變成1010.1，浮點後面的數字會自動丟棄

現在我們模擬一下程式是如何跑的 power(2, 21)

1. res = 1
2. while迴圈，此時y = 21 = 10101(二進位制)
3. if(y&1),y = 10101(二進位制),判斷結果為true（二進位制的最低位是1）
4. res = res * x = 1 * 2 = 2
5. x = x * x = 2 * 2 = 2^2
6. y >>= 1 = 1010(二進位制)
7. while迴圈，此時y = 10101(二進位制)
8. if(y&1),y = 1010(二進位制),判斷結果為false（二進位制的最低位是0）
9. x = x * x = 2^2 * 2^2 = 2^4
10. y >>= 1 = 101(二進位制)
11. while迴圈，此時y = 101(二進位制)
12. if(y&1),y = 101(二進位制),判斷結果為true（二進位制的最低位是1）
13. res = res * x = 2 * 2^4 = 2^5
14. x = x * x = 2^4 * 2^4 = 2^8
15. y >>= 1 = 10(二進位制)
16. while迴圈，此時y = 10(二進位制)
17. if(y&1),y = 10(二進位制),判斷結果為false（二進位制的最低位是0）
18. x = x * x = 2^8 * 2^8 = 2^16
19. y >>= 1 = 1(二進位制)
20. while迴圈，此時y = 1(二進位制)
21. if(y&1),y = 1(二進位制),判斷結果為true（二進位制的最低位是1）
22. res = res * x = 2^16 * 2^5 = 2^5
23. x = x * x = 2^16 * 2^16 = 2^32
24. y >>= 1 = 0(二進位制)
25. while迴圈結束
26. retrun res,也就是計算結果啦

線性遞迴

以上就是線性遞迴了，那什麼是線性遞迴？

線性遞迴的意思就是遞迴次數 和遞迴引數滿足線性表示式

也就是遞迴函式f(x) 需要遞迴的次數為 a*x+b 其中ab為常