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【圖解資料結構】樹及樹的遍歷

阿新 • • 發佈：2019-09-26

當你第一次學習編碼時，大部分人都是將陣列作為主要資料結構來學習。

之後，你將會學習到雜湊表。如果你是計算機專業的，你肯定需要選修一門資料結構的課程。上課時，你又會學習到連結串列，佇列和棧等資料結構。這些都被統稱為線性的資料結構，因為它們在邏輯上都有起點和終點。

當你開始學習樹和圖的資料結構時，你會覺得它是如此的混亂。因為它的儲存方式不是線性的，它們都有自己特定的方式儲存資料。

定義

樹是眾所周知的非線性資料結構。它們不以線性方式儲存資料。他們按層次組織資料。

樹的定義

樹（Tree）是n(n>=0)個結點的有限集。n=0時稱為空樹。

在任意一顆非空樹中：

(1)有且僅有一個特定的稱為根（Root）的結點。

(2)當n>1時，其餘結點可分為m(m>0)個互不相交的有限集T1、T2、.....、Tm,其中每一個集合本身又是一棵樹，並且稱為根的子樹（SubTree）。

下圖就符合樹的定義：

其中根結點A有兩個子樹：

 

我們硬碟的檔案系統就是很經典的樹形結構。

“樹”它具有以下的特點：

    ①每個節點有零個或多個子節點；

    ②沒有父節點的節點稱為根節點；

    ③每一個非根節點有且只有一個父節點；

    ④除了根節點外，每個子節點可以分為多個不相交的子樹；

 

樹( tree)是被稱為結點( node)的實體的集合。結點通過邊( edge)連線。每個結點都包含值或資料( value/date)，並且每結節點可能有也可能沒有子結點。

樹的首結點叫根結點（即 root結點）。如果這個根結點和其他結點所連線，那麼根結點是父結點與根結點連線的是子結點。

所有的結點都通過邊連線。它是樹中很重要得一個概念，因為它負責管理節點之間的關係。

葉子結點是樹末端，它們沒有子結點。像真正的大樹一樣，我們可以看到樹上有根、枝幹和樹葉。

術語彙總 

  • 根結點是樹最頂層結點

  • 邊是兩個結點之間的連線

  • 子結點是具有父結點的結點

  • 父結點是與子結點有連線的結點

  • 葉子結點是樹中沒有子結點的結點（樹得末端）

  • 高度是樹到葉子結點（樹得末端）的長度

  • 深度是結點到根結點的長度

 

樹的結點

樹的結點包含一個數據元素及若干指向其子樹的分支。

結點擁有的子樹數稱為結點的度（Degree）。

樹的度是樹內各結點度的最大值。

 

 結點的層次從根開始定義起，根為第一層，根的孩子為第二層，以此類推，若某結點在第 i 層，則其子樹的根就在第 i+1 層。

其雙親在同一層的結點互為堂兄弟。顯然下圖中的D、E、F是堂兄弟，而G、H、l、J也是。

樹的深度（Depth）或高度是樹中結點的最大層次。 

 

樹的高度( height)和深度( depth)

  • 樹的高度是到葉子結點（樹末端）的長度，也就是根結點到葉子結點的最大邊長度

  • 結點的深度是它到根結點的長度，也就是層次

 

 

樹的儲存結構

 

 

 雙親表示法

在每個結點中，附設一個指示器指示其雙親結點到連結串列中的位置。

 

  

 

優點：parent指標域指向陣列下標，所以找雙親結點的時間複雜度為O(1),向上一直找到根節點也快
缺點：由上向下找就十分慢，若要找結點的孩子或者兄弟，要遍歷整個樹

 

孩子表示法

 

 

優點：找孩子比較容易

缺點：佔用了大量不必要的孩子域空指標。 若要找結點的父親，要遍歷整個樹。

 

改進一：為每個結點新增一個結點度域，方便控制指標域的個數

 

 缺點：維護困難，不易實現   

 

改進二：結合順序結構和鏈式結構

把所有結點先放在數組裡面，每個結點都會有自己的子結點，第一個孩子就用一個指標表示，每個孩子的next指標指向它的兄弟

 

 

孩子兄弟表示法

任意一棵樹，它的結點的第一個孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我們設定兩個指標 ，分別指向該結點的第一個孩子和此結點的右兄弟

 

 

 

二叉樹

二叉樹的定義 

二叉樹（Binary Tree）是n(n>=0)個結點的有限集合，該集合或者為空集（空二叉樹），或者由一個根結點和兩棵互不相交的、分別稱為根結點的左子樹和右子樹的二叉樹組成（子樹也為二叉樹）。

二叉樹的特點

  • 每個結點最多有兩棵子樹，所以二叉樹中不存在度大於2的結點。
  • 左子樹和右子樹是有順序的，次序不能任意顛倒。
  • 即使樹中某結點只有一棵子樹，也要區分它是左子樹還是右子樹。

二叉樹五種基本形態

　　1、空二叉樹

　　2、只有一個根結點

　　3、根結點只有左子樹

　　4、根結點只有右子樹

　　5、根結點既有左子樹又有右子樹

幾種特殊的二叉樹

斜樹

左斜樹：  右斜樹：

 

 

滿二叉樹

 

滿二叉樹：

 

 

完全二叉樹

完全二叉樹：

 

二叉樹的性質

二叉樹性質1

性質1：在二叉樹的第i層上至多有2i-1個結點（i>=1）

二叉樹性質2

性質2：深度為k的二叉樹至多有2k-1個結點（k>=1）

N=2K-1    K是層次/高度(4）   N=15

二叉樹性質3

性質3：對任何一棵二叉樹T，如果其終端結點數為n0,度為2的結點數為n2，則n0 = n2+1。

一棵二叉樹，除了終端結點（葉子結點），就是度為1或2的結點。假設n1度為1的結點數，則數T 的結點總數n=n0+n1+n2。我們再換個角度，看一下樹T的連線線數，由於根結點只有分支出去，沒有分支進入，所以連線線數為結點總數減去1。也就是n-1=n1+2n2，可推匯出n0+n1+n2-1 = n1+2n2，繼續推導可得n0 = n2+1。

二叉樹性質4

性質4：具有n個結點的完全二叉樹的深度為[log2n +1] ([X]表示不大於X的最大整數)。

2K=N+1     N是結點數（15）

K=log2n+1  <  log2n+1

由性質2可知，滿二叉樹的結點個數為2k-1，可以推匯出滿二叉樹的深度為k=log2(n + 1)。對於完全二叉樹，它的葉子結點只會出現在最下面的兩層，所以它的結點數一定少於等於同樣深度的滿二叉樹的結點數2k-1，但是一定多於2k-1 -1。因為n是整數，所以2k-1 <= n < 2k，不等式兩邊取對數得到：k-1 <= log2n <k。因為k作為深度也是整數，因此 k= [log2n ]+ 1。

二叉樹性質5

性質5：如果對一顆有n個結點的完全二叉樹（其深度為 [ log2n+1 ] ）的結點按層序編號（從第1層到第 [log2n+1] 層，每層從左到右），對任一結點 i (1<=i<=n) 有：

  1. 如果i=1，則結點i是二叉樹的根，無雙親；如果 i>1，則其雙親是結點 [ i / 2 ]。    雙親結點的編號 = 兩個子結點中的一個子結點  / 2

  2. 如果2i>n,則結點i無左孩子（結點i為葉子結點）；否則其左孩子是結點2i

  3. 如果2i+1>n,則結點 i 無右孩子；否則其右孩子是結點2i+1

結合下圖很好理解：

 

 

二叉樹的儲存結構

二叉樹順序儲存結構

一般二叉樹：

^ 代表不存在的結點。

 

二叉連結串列

連結串列每個結點包含一個數據域和兩個指標域：

其中data是資料域，lchild和rchild都是指標域，分別指向左孩子和右孩子。

 

二叉樹的遍歷

深度優先搜尋（Depth-First Search，DFS）

DFS 在回溯和搜尋其他路徑之前找到一條到葉節點的路徑。讓我們看看這種型別的遍歷的示例。

輸出結果為： 1–2–3–4–5–6–7

為什麼？

讓我們分解一下：

  1. 從根結點（1）開始。輸出

  2. 進入左結點（2）。輸出

  3. 然後進入左孩子（3）。輸出

  4. 回溯，並進入右孩子（4）。輸出

  5. 回溯到根結點，然後進入其右孩子（5）。輸出

  6. 進入左孩子（6）。輸出

  7. 回溯，並進入右孩子（7）。輸出

  8. 完成

當我們深入到葉結點時回溯，這就被稱為 DFS 演算法。

既然我們對這種遍歷演算法已經熟悉了，我們將討論下 DFS 的型別：前序、中序和後序。

前序遍歷

這和我們在上述示例中的作法基本類似。

  1. 輸出節點的值

  2. 進入其左結點並輸出。當且僅當它擁有左結點。

  3. 進入右結點並輸出之。當且僅當它擁有右結點

 程式碼實現 -- 迭代實現

/**
 * 前序遍歷--迭代
 */
public void preOrder(TreeNode node) {
    if (node == null) {
        return;
    } else {
        System.out.println("preOrder data:" + node.getData());
        preOrder(node.leftChild);
        preOrder(node.rigthChild);
    }
}

 

前序遍歷 - -棧實現

/**
 * 前序遍歷--棧
 *
 * @param node
 */
public void nonRecOrder(TreeNode node) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
    stack.push(node);
    while (!stack.isEmpty()) {
        //出棧和進棧
        TreeNode n = stack.pop();//彈出根節點
        //壓入子結點
        System.out.println("nonRecOrder data: " + n.getData());
        //避免葉子結點為空，出現空指標異常
        if (n.rigthChild != null) {
            stack.push(n.rigthChild);
        }
        if (n.leftChild != null) {
            stack.push(n.leftChild);
        }
    }
}

 

 

中序遍歷

 

 

示例中此樹的中序演算法的結果是3–2–4–1–6–5–7。

左結點優先，之後是中間，最後是右結點。

 程式碼實現：

/**
 * 中序遍歷--迭代
 */
public void midOrder(TreeNode node) {
    if (node == null) {
        return;
    } else {
        midOrder(node.leftChild);
        System.out.println("midOrder data:" + node.getData());
        midOrder(node.rigthChild);
    }
}

 

 

後序遍歷

以此樹為例的後序演算法的結果為 3–4–2–6–7–5–1 。

左結點優先，之後是右結點，根結點的最後。

 程式碼實現：

/**
     * 後序遍歷--迭代
     */
    public void

    postOrder(TreeNode node) {
        if (node == null) {
            return;
        } else {
            postOrder(node.leftChild);
            postOrder(node.rigthChild);
            System.out.println("postOrder data:" + node.getData());
        }
    }

 

 

自創遍歷小技巧（附連結）

先根遍歷法（超級簡單小技巧）

 

 

三角形遍歷法

 

 

 結果： G D  I H B A E J C F

 

例子：

上圖二叉樹遍歷結果

    前序遍歷：ABCDEFGHK

    中序遍歷：BDCAEHGKF

    後序遍歷：DCBHKGFEA

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