氣泡排序深入理解
氣泡排序深入理解
對於氣泡排序有一個小性質: 每一次都會把序列未排好序的最大數"沉底", 即推到序列尾部
1.P4378 Out of Sorts S
留意著農場之外的長期職業生涯的可能性，奶牛Bessie開始在不同的線上程式設計網站上學習演算法。
她到目前為止最喜歡的演算法是“氣泡排序”。這是Bessie的對長度為N的陣列A進行排序的奶牛碼實現。
sorted = false while (not sorted): sorted = true moo for i = 0 to N-2: if A[i+1] < A[i]: swap A[i], A[i+1] sorted = false
顯然，奶牛碼中的“moo”指令的作用只是輸出“moo”。奇怪的是，Bessie看上去執著於在她的程式碼中的不同位置使用這個語句。
給定一個輸入陣列，請預測Bessie的程式碼會輸出多少次“moo”。
題意即進行多少次氣泡排序
對於一個序列, 我們稱之為有序的, 當且僅當對於任意一個位置前面沒有比它大的數(可以模擬一下)
比如:6 1 2 3 4 5 進行一次為 1 2 3 4 5 6
那麼對於位置i, 氣泡排序進行到i-1時, $a_{i-1}$為前i1個數中最大的一個, 如果它大於$a_i$那麼它就會到$a_i$的後面
由此可推知, 每一次位置i前都會將一個比$a_i$大的數推至其後, 直至沒有比它大的
那麼我們對每位置求一下它前面有幾個比它大就好啦(注意要將答案加一)
具體來說先進行離散化, 再樹狀陣列求解即可
程式碼:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N = 100500; int d[N], n; int read(void) { int x = 0; char c = getchar(); while (!isdigit(c)) c = getchar(); while (isdigit(c)){ x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0'; c = getchar(); } return x; } struct node{ int val, pos; bool operator < (const node &i) const{ if (val == i.val) return pos < i.pos; return val < i.val; } }p[N]; inline int low(int x) { return x & -x; } int get(int x) { int tmp = 0; for (;x;x -= low(x)) tmp += d[x]; return tmp; } void add(int x) { for (;x <= n; x += low(x)) d[x]++; } bool cmp(node i,node j) { return i.pos < j.pos; } int main() { n = read(); for (int i = 1;i <= n; i++) p[i] = (node){read(),i}; sort(p + 1,p + n + 1); for (int i = 1;i <= n; i++) p[i].val = i; sort(p + 1,p + n + 1, cmp); int ans = 0; for (int i = 1;i <= n; i++) { add(p[i].val); ans = max(ans, i - get(p[i].val)); } printf ("%d\n", ans+1); return 0; }
2.P4375 Out of Sorts G
sorted = false
while (not sorted):
sorted = true
moo
for i = 0 to N-2:
if A[i+1] < A[i]:
swap A[i], A[i+1]
for i = N-2 downto 0:
if A[i+1] < A[i]:
swap A[i], A[i+1]
for i = 0 to N-2:
if A[i+1] < A[i]:
sorted = false給定一個輸入陣列，請預測Bessie的程式碼會輸出多少次“moo”。
題意:求雙向氣泡排序的排序次數
對於一個序列, 我們稱之為有序的, 當且僅當對於任意一個位置前面沒有比它大的數(可以模擬一下)
我們暫且稱它為平衡條件吧
首先將序列離散化
相比較於Out of Sorts S, 本題思路在於不動的位置, 結論為對於位置x, ans = max{ans, 前面有幾個數的數值大於x}
為什麼呢
在x不滿足平衡條件的時候
首先第一波操作的時候,對於前x個位置一定會換出一個大於x的數
因為它不滿足平衡條件
第二波操作時, 又會有一個小於等於x的數插回來
因為回來的時候一定會冒泡出一個位置在x後的最小值, 因為x不滿足平衡條件, 所以最小值小於等於x, 就又插了回來
有人可能會問為什麼Out of Sorts S不能用這個式子嘞, 因為每次換出的一定大於x, 但x+1位置上的數可能換過來, 而它有可能大於x
由此可知, 求每個位置前大於其的數就行啦
程式碼:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100500;
int d[N], n;
int read(void) {
int x = 0;
char c = getchar();
while (!isdigit(c)) c = getchar();
while (isdigit(c)){
x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0';
c = getchar();
}
return x;
}
struct node{
int val, pos;
bool operator < (const node &i) const{
if (val == i.val) return pos < i.pos;
return val < i.val;
}
}p[N];
inline int low(int x) {
return x & -x;
}
int get(int x) {
int tmp = 0;
for (;x;x -= low(x)) tmp += d[x];
return tmp;
}
void add(int x) {
for (;x <= n; x += low(x)) d[x]++;
}
bool cmp(node i,node j) {
return i.pos < j.pos;
}
int main() {
n = read();
for (int i = 1;i <= n; i++) p[i] = (node){read(),i};
sort(p + 1,p + n + 1);
for (int i = 1;i <= n; i++) p[i].val = i;
sort(p + 1,p + n + 1, cmp);
int ans = 1;
for (int i = 1;i <= n; i++) {
add(p[i].val);
ans = max(ans, i - get(i));
}
printf ("%d\n", ans);
return 0;
}
/*
6
2 5 6 3 1 4
*/3.P4372 Out of Sorts P
留意著農場之外的長期職業生涯的可能性，奶牛Bessie開始在不同的線上程式設計網站上學習演算法。她最喜歡的兩個演算法是“氣泡排序”和“快速排序”，但是不幸的是Bessie輕易地把它們搞混了，最後實現了一個奇怪的混合演算法！ 如果陣列A中A[...i]的最大值不大於A[i+1…]的最小值，我們就稱元素i和i+1之間的位置為一個“分隔點”。Bessie還記得快速排序包含對陣列的重排，產生了一個分隔點，然後要遞迴對兩側的A[...i]和A[i+1…]排序。然而，儘管她正確地記下了陣列中所有的分隔點都可以線上性時間內被求出，她卻忘記快速排序應該怎麼重排來快速構造一個分隔點了！在這個可能會被證明是排序演算法的歷史中最糟糕的演算法性失誤之下，她做出了一個不幸的決定，使用氣泡排序來完成這個任務。
以下是Bessie最初的對陣列AA進行排序的實現的概要。她首先寫了一個簡單的函式，執行氣泡排序的一輪：
bubble_sort_pass (A) {
for i = 0 to length(A)-2
if A[i] > A[i+1], swap A[i] and A[i+1]
}她的快速排序（相當快）函式的遞迴程式碼是按下面的樣子構成的：
quickish_sort (A) {
if length(A) = 1, return
do { // Main loop
work_counter = work_counter + length(A)
bubble_sort_pass(A)
} while (no partition points exist in A)
divide A at all partition points; recursively quickish_sort each piece
}Bessie好奇於她的程式碼能夠執行得多快。簡單起見，她計算出她得主迴圈的每一輪都消耗線性時間，所以她相應增加一個全域性變數work_counter的值，以此來跟蹤整個演算法總共完成的工作量。
給定一個輸入陣列，請預測quickish_sort函式接收這個陣列之後，變數work_counter的最終值。
這道題用到了一個套路, 就是"橫向變縱向"
求每一次氣泡排序的長度, 不如求每一個點被氣泡排序了幾次
定義分割點為i與i+1的分割線,不妨假設它就在i上吧
再次定義序列排好序的標準
我們稱一個序列是有序的當且僅當所有點(除了n)都是分割點
那麼接下來我們要求分割點的出現時間t陣列
為什麼求:
對於每個點它不用在進行氣泡排序了當且僅當兩邊都已成為分割點, 也就是兩邊出現時間的最大值
依據t陣列,我們可以求出每個點被排了幾次
怎麼求(敲重點):
首先離散化
對於一個點x來說, 所有小於它的數卻在它後面的, 每一次都會向前走一次
那麼它出現的時間就是離它最遠的小於它的點冒泡到它前面的時間
即那個點到它的距離, 具體見程式碼
所以單調佇列或指標都可以維護
程式碼:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int N = 100500;
int d[N], n;
int read(void) {
int x = 0;
char c = getchar();
while (!isdigit(c)) c = getchar();
while (isdigit(c)){
x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0';
c = getchar();
}
return x;
}
struct node{
int val, pos;
bool operator < (const node &i) const{
if (val == i.val) return pos < i.pos;
return val < i.val;
}
}p[N];
bool cmp(node i,node j) {
return i.pos < j.pos;
}
int t[N], k;
int main() {
// freopen("hs.in","r",stdin);
n = read();
for (int i = 1;i <= n; i++) p[i] = (node){read(),i};
sort(p + 1,p + n + 1);
for (int i = 1;i <= n; i++) p[i].val = i;
sort(p + 1,p + n + 1, cmp);
long long ans = 0;
k = n;
for (int i = n;i >= 1; i--) {
while (p[k].val > i) k--;
t[i] = max(p[k].pos - i, 1);
}
for (int i = 0;i < n; i++) ans += max(t[i], t[i+1]);
printf ("%lld\n", ans);
return 0;
}
/*
6
2 5 6 3 1 4
*/4.T99343 奇怪的排序
您有一個正整數序列, 您可以選擇任意相鄰的兩個數$a_i,a_{i+1}$插入另兩個數之間,或序列首和尾;
假如序列為: 1 2 4 3 5 6
可以選2 4
插在序列首 2 3 4 3 5 6
插到3後 1 3 2 4 5 6
插到5後 4 3 5 1 2 6
插在6後 1 3 5 6 2 4
現在hs-black需要判斷是否進行若干次操作能使序列變得有序(無論正序倒序), 蒟蒻hs-black當然不會啦, 請您幫幫他.....
這道題來源於一位數競大佬提供的靈感
再次定義一個序列有序
我們稱一個序列是有序的,當且僅當它的逆序對數為0或n*(n-1)/2;
引理1: 交換序列中相鄰的兩個數會改變原序列逆序對個數的奇偶性
引理2: 將序列相鄰兩個數插入別處不會改變原序列逆序對個數的奇偶性
證明: a~1~...a~i~a~j~...a~q~...a~n~ 不斷將a~j~與它右邊的數字交換直至正好換到a~q~ 即a~1~...a~j~a~i~...a~n~ 此時共交換了q - j 次
再將a~i~ 向右與相鄰數字交換q-1-i次到$a_j$左側 ,此時共交換2 * (q - j) 次,為偶數次,所以奇偶性不變
那麼說明逆序對數與排序好的逆序對數奇偶性不同時不能滿足要求
下面證明相同時可以滿足要求
以正序為例, 每次將序列最小的數和後面的數插到已排序部分的後面, 如果最小數在最後時就將後2,3個數插在它後面
當未排序列只剩兩個數時, 逆序對個數也一定是偶數, 只可能是0
即序列有序, 證畢
具體實現是討論一下n*(n-1)/2的奇偶性, 並樹狀陣列求出原序列逆序對個數
程式碼:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
const int M = 500005;
using namespace std;
int n, sum[M];
struct Num{
int val,num;
inline friend bool operator < (Num a,Num b){
return a.val > b.val;
}
}p[M];
inline int lowbit(int x){
return x&-x;
}
void add(int k,int x){
while(k<=n){
sum[k]+=x;
k+=lowbit(k);
}
}
int getsum(int k){
int tmp=0;
while(k>0){
tmp+=sum[k];
k-=lowbit(k);
}
return tmp;
}
long long Ans=0;
char ss[1<<17],*A=ss,*B=ss;
inline char gc()
{if(A==B){B=(A=ss)+fread(ss,1,1<<17,stdin);if(A==B)return EOF;}return*A++;}
template<class T>inline void read(T&x){
cin >> x ;
}
int main(){
int t;
read(t);
while(t--) {
Ans = 0;
memset(sum, 0, sizeof(sum));
read(n);
for(int i=1;i<=n;i++){
read(p[i].val);
p[i].num=i;
}
sort(p+1,p+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
add(p[i].num,1);
Ans+=getsum(p[i].num-1);
}
// printf ("%lld\n", Ans);
if (n % 4 > 1)
printf("Yes\n");
else if (Ans % 2 == 1)
printf("No\n");
else
printf("Yes\n");
}
return 0;
}