Shone.Math開源系列2 — 實數型別（含分數和無理數）的實現
Shone.Math開源系列2
實數型別（含分數和無理數）的實現
作者：Shone
宣告：原創文章歡迎轉載，但請註明出處，https://www.cnblogs.com/ShoneSharp。
摘要: 計算機數值計算存在輸入進位制誤差、計算過程的分數和無理數運算誤差，是很多程式設計開發的痛點所在。開源專案Shone.Math提供了統一的實數型別Real，支援分數和無理數計算，做到精度、效能和儲存的各方面平衡，可以消除輸入進位制誤差和分數計算誤差，大幅減少無理數的計算過程誤差。
Shone.Math是一個支援Math<T>泛型數值計算和Real實數運算（浮點數、分數、PI,E,Log,Exp等無理數）的輕量級基礎數學庫。該專案開源地址https://github.com/shonescript/Shone.Math，是本人把多年程式碼積累正式轉向.NET 5的第一個開源專案，請大家多多支援了。
本系列部落格上個章節詳細介紹了Shone.Math的Math<T>的泛型實現，全面支援了系統數值型別。有評論提到了相關資料精度話題，因此今天就把Shone.Math的特色—“實數運算”提前進行介紹。
一、數值計算之殤
大家在程式設計過程中其實不斷在跟各種數值型別打交道，為什麼沒有可以“一統江湖”的數值型別？目前還真沒有！
很多動態語言直接使用double(64位二進位制浮點數)作為唯一數值，然並卵，立馬就會碰到下面經典的翻車案例，不信你開啟編輯器測試下面公式：
0.1+0.2 竟然不等於 0.3，而是等於0.30000000000000004
如果使用整數型別int或long，碰到除法5/2竟然等於2，那更翻車翻的四腳朝天，因此一般通用計算必須採用浮點數就是這個道理，有誤差大家都知道，也就將就將就吧。
二、數值誤差難點
在有限的時間和空間約束下，計算機數值計算存在誤差主要在於三個方面：
（1）輸入時進製表達誤差：前面的0.1是十進位制小數，用二進位制浮點數表示會是個無限迴圈形式，只能截除尾數導致誤差。這是最無奈的，一輸入就是不精確。那麼使用decimal(128位十進位制浮點數)就沒有這個問題，但是十進位制常規CPU不支援，計算速度慢十幾倍，大家也不大願意用，除了金融系統實在沒辦法。
（2）計算過程的分數運算誤差：除法運算可能產生不可規約分數，用小數點表達就是無限迴圈形式，必須截除尾數，上面的進位制轉換誤差本質上也是分數導致的問題。該問題採用decimal十進位制浮點數也沒用，只有使用分數形式才能準確表達，那麼需要增加一倍儲存和接近四倍計算時間的開銷。
（3）計算過程的無理數運算誤差：類似PI、E、Sqrt、Log、Exp、Sin、Cos、等運算，都可能產生無理數，用小數表達就是無限不迴圈的形式，真是不死不休，一輩子也算不完！那些超算中心專門為了計算PI都使用高能計算機，還是算不完，這是用啥進位制都沒用，用分數也不行。這也是分數表達不受待見的原因，你搞半天，碰到無理數運算，誤差立馬要算總賬，沒法控制。
無理數運算隨時存在，目前還沒有很好的解決方案，多數只能採用更高精度的浮點數如quad(128位二進位制浮點數)、甚至bigfloat(可指定任意位數精度的二進位制浮點數)，但帶來儲存和計算時間增加的開銷也很大。
三、Shone.Math實數解決方案
Shone.Math實數有針對性解決了大部分上述問題，填了很多坑，儘量做到易用性、效能等各方面平衡。各位有興趣可以到開源專案地址，下載dll試用或程式碼研究一下，有BUG、問題或建議可以在上面直接提出來，也可以pull參與專案程式碼完善和實現。
Shone.Math實數把數值分為幾類，並通過型別派生進行表達和計算過載：
（1）可二進位制有效表達的浮點數：結果值是有限不迴圈的二進位制整數或小數，可使用1個double數值（如2.5r，與常規數值相同），放在基類Real中進行表達和計算；
（2）分子分母均可二進位制有效表達的分數：結果值是無限迴圈的二進位制浮點數，需要採用2個double數值的分數形式（如3\5r，採用反斜槓表示分子分母是一個整體），放在派生類Ration中進行表達和計算；
（3）可間接包含分數係數的各類無理數：結果值是無限不迴圈的二進位制浮點數，但是可以針對常用的部分無理數採用專門的間接表達形式如下，基類為Irration，每個間接無理數都採用2個double數值的分數形式。
a）PI無理數：IrrationPI，如3\5pi，間接表示3/5*PI的計算值；
b）E無理數：IrrationE，如3\5e，間接表示3/5*PI的計算值；
c）Sqrt無理數：IrrationSqrt，如3\5sqt，間接表示sqrt(3/5)的計算值；
d）Sqrd無理數：IrrationSqrd，如3\5sqd，間接表示(3/5)*(3/5)的計算值；
e）Xp無理數：IrrationXp，如3\5xp，間接表示pow(10,3/5)的計算值；
f）Exp無理數：IrrationExp，如3\5exp，間接表示pow(E,3/5)的計算值；
g）Pow無理數：IrrationPow，如3\5pow，間接表示pow(3,5)的計算值；
h）Log無理數：IrrationLog，如3\5ln，間接表示底數為E的ln(3/5)計算值；
i）Log10無理數：IrrationLog10，如3\5lg，間接表示底數為10的lg(3/5)計算值；
j）Logx無理數：IrrationLog，如3\5log，間接表示底數為3的log(3, 5)計算值；
注意，上述有些間接無理數是互補運算（如sqrd與sqrt、xp與log10、exp與log等），如果兩個一起會消解，從而保持計算過程的精確性。
（4）其他無法間接表達的無理數：在計算過程中只要碰到這種型別，比如Sin、Cos三角函式等計算結果還是無理數時只能截斷尾數，轉化為第一類可二進位制有效表達的浮點數，仍是Real表達。
四、Shone.Math實數解決問題
Shone.Math的Real實數型別設計和實現上儘量做到精度、效能和儲存各方面的平衡考慮，在有限的時間和空間內，可以有效減少計算機數值計算誤差。
（1）消除了輸入時進製表達誤差：0.1將被轉化為1\10r的分數表示，沒有進位制轉換問題。
（2）消除了計算過程的分數運算誤差：支援純正的分數運算也沒有誤差。
（3）減少計算過程的無理數運算誤差：大量常用的PI、E、Sqrt、Log、Exp等無理數運算採用間接形式表達，直到實在無法間接表達時再截尾處理產生誤差，但總體上將大大減少常規計算的總體誤差。
當然無理數運算誤差不可能徹底解決，Shone.Math只是提出了一個可行的實現方法，具體好壞還有待在實際應用中考證。
五、Shone.Math實數Real使用方法
Shone.Math只有一個dll檔案，除了.NET5系統外無任何外部依賴。注意：Shone.Math支援.NETCore3.1/5.0以上版本，一方面是擁抱未來向前看，另一方面是開始時發現.NET4和.NET5差好多內容，如MathF類,Math.Asinh,Acosh,Atanh,還有各種Span<T>,Memory<T>等高階型別，這也符合.NET5一統江湖的趨勢。
1、安裝Visual Studio 2019
更新到最新版，在選項設定中開啟.net 5 preview支援。
2、下載nuget包或github程式碼
Nuget包：https://www.nuget.org/packages/Shone.Math/1.0.7
原始碼：https://github.com/shonescript/Shone.Math/releases
3、引用nuget包或Shone.Math.dll到你的專案中
4、新增名稱空間using Shone;
5、愉快地使用實數常量、方法
using Shone; // import Shone namespace
var d = Real.PI*3; // result is 3pi of IrrationPi
var x = 5.ToReal().Pow(3); // write in dot style
var ds = new double[]{5, 6, 7}.ToReal().Pow(3); // calculate array easily
6、Real也支援作為Math<T>計算
7、注意：Real只有基類對外暴露方法，其他派生類只能在計算過程中自動產生，比如進行Sqrt()時，如果結果可以間接表達，就會產生如3\5sqrt之類的IrrationSqrt無理數，使用時可以體會一下。
六、Real型別的不足之處
前面也說了，Shone.Math的Real型別解決了輸入和過程的分數誤差，但沒有徹底消除無理數誤差，只是進行推遲和消解，要進行等值判斷時其精度還只能與double類似。
Real型別設計為class，對大量數值計算而言，會產生堆上記憶體分配和相關GC，對效能有影響。我最早採用的是struct，但需要1個計算結果、2個double分子分母、還有1個byte的標記，佔用儲存太大，而且有好多判斷，不容易除錯。最終經過權衡使用現在的方案。
七、小結
基於.NET 5的開源專案Shone.Math，通過各種精巧實現，提供了統一的泛型數值計算靜態類Math<T>和實數型別Real，為開發各類自定義數值、幾何、空間、公式解析等泛型和高精度數值應用打下了堅實基礎。本系列下一章節將介紹Shone.Math的一些.NET5專用高階特性如ref, Span, Memory的泛型數值計算擴充套件。
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標籤：Shone.Math 泛型 數值 計算 .NET