給定一個長度為n的陣列a，它有n(n+1)/2​​個子陣列。請計算這些子陣列的和，然後按照升序排列，並返回排序後第k個數。

• 1≤n≤10​^5
• 1≤a​i≤10^​9
• 1≤k≤​n(n+1)/2

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Example1

Input: 
[2,3,1,4]
6
Output:5
Explanation:
我們可以得到所有子陣列的和是 [1,2,3,4,4(3 + 1), 5(1 + 4), 5(2 + 3), 6(2 + 3 + 1), 8(3 + 1 + 4), 10(2 + 3 + 1 + 4)]。其中第六個是5。

【題解】

演算法

二分+two pointer

演算法分析

我們可以看到，題目需要求和第k

k大的子區間，而我們的區間總個數共有n(n+1)/2個，當n為10^5​​時這個數高達10^10級別。我們顯然不能暴力的列舉每一個區間和然後排序。

演算法思路

我們注意到，所有數字的和不超過10^14，這個範圍可以讓我們想到使用二分最終的答案進行求解。

二分要求解的問題是：對於給定的和x，求有多少個區間的和小於x，小於等於x。這需要我們在O(n)的時間複雜度內進行求解。由於陣列內所有數都是正數，我們自然的可以想到同向雙指標求解。噹噹前區間的和大於k，就移動左指標，否則移動右指標。

時間複雜度

O(nlog(n))

public class Solution {
    /**
     * @param a: an array
     * @param k: the kth
     * @return: return the kth subarray
     */
     
    private int check(long x, int[] a, long k) {
        long tmp1 = 0, tmp2 = 0, now = a[0];
        int l = -1, r = 0, n = a.length;
        long all = (long)n * (n + 1) / 2;
        while (l <= r && r < n)
        {
            if (now >= x) {
                if (now == x) {
                    tmp2++;
                } else {
                    tmp1++;
                }
                tmp1 += n - r - 1;
                l++; now -= a[l];
            }
            else {r++; if (r < n) now += a[r];}
        }
        if (all - tmp1 - tmp2 < k && all - tmp1 >= k) return 0;
        if (all - tmp1 - tmp2 >= k) return 1;
        else return -1;
    } 
    public long thekthSubarray(int[] a, long k) {
        // wrrite your code here
        int n = a.length;
        long sum = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sum += a[i];
        }
        long l = 1, r = sum;
        while (l <= r) {
            long mid = (l + r) / 2;
            int flag = check(mid, a, k);
            if (flag == 0) {
                return mid;
            }
            if (flag == 1) {
                r = mid - 1;
            }
            else {
                l = mid + 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}
 

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