分治演算法（Divide-and-Conquer Algorithm），就是分而治之，把一個複雜問題分成兩個或更多個相同或相似的子問題，直到最後子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合併。

　　分治演算法比較適合用遞迴來實現，而每一層遞迴都會涉及三個操作：

　　（1）分解：將原問題分解為若干個規模較小，相對獨立，與原問題形式相同的子問題，縮小問題規模。

　　（2）求解：若子問題規模較小且易於解決時（找出基線條件），則直接解。否則，遞迴地解決各子問題。其中基線條件（base case）通常是陣列為空或只包含一個元素。

　　（3）合併：將各子問題的解合併為原問題的解。

　　分治演算法是一種處理問題的思想和技巧，是很多高效演算法的基礎，例如排序演算法（歸併和快排）、最大公因數等。

　　LeetCode的169. 多數元素，可將陣列一分為二，左邊遞迴最大值（left），右邊也一樣（right），當兩者相同，就是找到了；當不同時，比較誰的計數多。

　　與動態規劃不同，分治演算法分解的子問題可以獨立求解，並且它們之間沒有相關性。

　　在《劍指Offer》一書中曾提到，解決複雜問題的3種方法：

　　（1）畫圖，涉及連結串列、二叉樹等資料結構時，畫幾張草圖，可將隱藏的規律變得直觀。

　　（2）舉例，將抽象問題具體化，模擬執行過程，說不定能發現其中規律。

　　（3）分解，如果問題很大，則嘗試把大問題分解成小問題，然後遞迴解決，分治法、動態規劃等方法都是分解複雜問題的思路。

一、歸併排序

　　利用遞迴與分治技術將資料序列劃分成越來越小的半子表，再對半子表排序，最後用遞迴方法將排好序的半子表合併成為越來越大的有序序列，如下所示，思路如圖8所示。

function mergeSort(arr) {
  let len = arr.length;
  //基線條件
  if (len < 2) {
    return arr;
  }
  //分解
  let middle = Math.floor(len / 2),
    left = mergeSort(arr.slice(0, middle)),
    right = mergeSort(arr.slice(middle));
  //合併
  return merge(left, right);
}
function merge(left, right) {
  let result = [];
  //求解
  while (left.length && right.length) {
    //小的在左，大的在右
    if (left[0] <= right[0]) {
      result.push(left.shift());
    } else {
      result.push(right.shift());
    }
  }
  while (left.length)
    result.push(left.shift());
  while (right.length)
    result.push(right.shift());
  return result;
}

圖 8

　　面試題51 陣列中的逆序對。先統計子陣列中的逆序對，然後統計兩個相鄰陣列之間的逆序對，在統計的過程中還需要對陣列進行歸併排序。

二、快速排序

　　採用“分而治之”的思想，把大的拆分為小的，小的再拆分為更小的。

　　將原序列分為兩部分，其中前一部分的所有記錄均比後一部分的所有記錄小，然後再依次對前後兩部分的記錄進行快速排序，遞迴該過程，直到序列中的所有記錄均有序為止。

　　程式碼實現如下所示，思路如圖9所示。

function quickSort(arr) {
  var length = arr.length;
  //基線條件
  if (length <= 1) {
    return arr;
  }
  var base = arr[0],
    left = [],             //儲存小於基準元素的記錄
    right = [];            //儲存大於基準元素的記錄
  //求解
  for (let i = 1; i < length; i++) {
    if (base > arr[i]) {        //放入左邊陣列
      left.push(arr[i]);
    } else {                    //放入右邊陣列
      right.push(arr[i]);
    }
  }
  //分解
  left = quickSort(left);
  right = quickSort(right);
  //合併
  return left.concat([base], right);
}

圖 9

　　面試題39 陣列中出現次數超過一半的數字。問題轉換為查詢中位數，受快速排序的啟發，當基準值的下標剛好是n/2時，那麼就是中位數，否則在另外兩部分中查詢。

　　面試題40 最小的 k 個數。採用快速排序思想，基於陣列第 k 個數字來調整，比 k 個數小的在左邊，大的在右邊。

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