[toc] # 八位“Booth二位乘演算法”乘法器 ## 原理 ### 補碼乘法器 之前介紹了幾篇無符號乘法器或加法器的寫法，當然，稍作修改也就可以改成符合有符號數的乘法器或加法器。 但是呢，我們之前寫的乘法器或加法器，其實都是預設是**正數**來寫的，而且是以**正數的原碼**來寫的，所以上面說稍作修改也就可以成為有符號數的乘法器或加法器，其實就是對我們以為的**原碼進行取補碼**，再進行乘法或加法的運算。 隨著計算機硬體部件的升級，處理器技術的發展，現代處理器中的定點數(小數點位置固定)都是按照補碼形式來儲存的。 所以在之前寫的無符號加法器中，只要利用： $$ X_補+Y_補=[X+Y]_補 $$ 就可以輕易將原先的加法器改寫成有符號加法器——只要對結果再取一次補碼即可。 但是乘法器呢？稍作學習可以知道，補碼的乘法是這樣的： $$ X*Y_補=[X*Y]_補 $$ 我們再考慮一下之前所說的：**在現代處理器中的定點數都是按照補碼形式來儲存的**。 所以我們要想得到兩個數的乘法結果，首先應該知道**被乘數的原碼和補碼，再對最終結果取補碼**，即可得到我們期望的乘法結果。 那麼如何求“`X*Y補`”呢？在處理器中，一個二進位制數`Y補`形如`y7y6y5y4y3y2y1y0`，也就是表示一個數的補碼，那麼**它的原碼**是多少呢？ 補碼的計算方法，除了“首位不變，餘位取反再加一”的方式，還有一種就是“**用溢位條件來減這個數**”，在我們之前第一節課說**二進位制**的時候，以鐘錶為例——“十二進位制”，得到結論——“`4`是`-8`的補碼”。  我們用第二種取補碼的方式：`-8的補碼=12-8=4`（這裡沒有考慮符號問題，只是求了補碼的值） 所以考慮一下符號的話，`-8的補碼=8-12=-4` 同理： 十進位制下，`-4的補碼=4-10=-6` 二進位制下，`-101補碼=1101補碼=101-1000=-011=1011` 這樣解決求補碼的方式在接下來的計算方面就更方便了，至於正數嘛，不變就好了。 回到上面的問題，一個二進位制數`Y補`形如`y7y6y5y4y3y2y1y0`，**它的原碼**是多少呢？根據： $$ [X_補]_補=X $$ `Y補`的原碼`Y`應該為： $$ Y=(y_7*2^7+y_6*2^6+y_5*2^5+……+y_0*2^0)-1*2^8 $$ 稍微化簡一下： $$ Y=-y_7*2^7+(y_6*2^6+y_5*2^5+……+y_0*2^0) $$ 所以我們如果想求`X*Y`，可以先求其補碼： $$ [X*Y]_補=[X*(-y_7*2^7)+X*(y_6*2^6+y_5*2^5+……+y_0*2^0)]_補 $$ 根據補碼加法“`X補+Y補=[X+Y]補`”再稍微化簡一下： $$ [X*Y]_補=-y_7*[X*2^7]_補+y_6*[X*2^6]_補+y_5*[X*2^5]_補+……+y_0*[X*2^0]_補 $$ 再引入一個定理： $$ [X*2^n]_補=X_補*2^n $$ 所以上式又可以換一種寫法： $$ [X*Y]_補=X_補*(-y_7*2^7+(y_6*2^6+y_5*2^5+……+y_0*2^0))=Y*X_補 $$ 哦這不就是上面介紹過的補碼乘法嘛： $$ [X*Y]_補=Y*X_補=X*Y_補 $$ 如果令一個數`Y1補=y6y6y5y4y3y2y1y0`，去掉了首位，那麼上式是不是可以理解為： $$ [X*Y]_補=X_補*Y1_補-y_7*X_補*2^7 $$ 其中的`Y1補`不就剛好是`Y補`的後7位嘛？也就是說一個乘法可以分為兩部分理解：首位的乘法和其他位的乘法。**首位的乘法產生的部分積符號是減，其他位的部分積符號為加**。 經過上面的推導大家應該會對補碼乘法的原理有了一定的概念，我們來把它寫成豎式的形式，以`(-6)x(-7)`為例，原碼乘應該是`1110x1111`，在計算機中是以補碼的形式儲存，所以補碼乘是`1010x1001`，代入公式，令`X補=1010`，`Y補=1001`，其運算過程如下：  這裡可能有一些迷惑的是：為什麼第一步運算得到的結果是`11111010`？為什麼要在前面填充`1111`？ 這也就是所謂的符號填充，我們之前的設計中都沒有涉及到符號位，所以預設都是填充`0`，現在遇到了負數問題，也就需要填充符號了，但是這樣看起來是不是~~一點都覺得~~很奇怪？如果沒辦法理解的話，我建議你可以嘗試對它求補碼，看看是不是可以保持首位符號位不變，餘位取反加一。驚歎於設計師的機智。 補碼乘法器的原理講明白了，具體電路實現的話，大家可以嘗試一下，本節重點不在於此。 ### Booth一位乘 在上面已經討論了補碼乘法器的原理，那麼什麼是`Booth`乘法器呢？`Booth`乘法器是由英國的`Booth`夫婦提出的，並沒有什麼特殊含義，所以我們直接快進到內容。 經過補碼乘法器的推導： $$ [X*Y]_補=X_補*(-y_7*2^7+(y_6*2^6+y_5*2^5+……+y_0*2^0)) $$ 參考中學數學： $$ 2^n=2*2^{n-1} $$ 其核心計算思想是括號裡的形式，也就是**`Y補`的原碼`Y`，**所以我們對括號裡的內容再進行分解合併，也就是對`Y`分解合併。先分解： $$ Y=-y_7*2^7+((2-1)y_6*2^6+(2-1)y_5*2^5+……+(2-1)y_0*2^0) $$ 這樣應該挺直觀了吧： $$ Y=-y_7*2^7+(y_6*2^7-y_6*2^6)+(y_5*2^6-y_5*2^5)+……+(y_0*2^1-y_0*2^0) $$ 再合併： $$ Y=(y_6-y_7)*2^7+(y_5-y_6)*2^6+(y_4-y_5)*2^5+……+(0-y_0)*2^0 $$ 最後有個`0-y0`的項，看起來有點不合群，所以令： $$ y_{-1}=0 $$ 代入上式，即： $$ Y=(y_6-y_7)*2^7+(y_5-y_6)*2^6+(y_4-y_5)*2^5+……+(y_{-1}-y_0)*2^0 $$ 這也就是`Booth`一位乘演算法的原理。其優點就在於不用再像補碼乘法器那樣，**不需要專門對最後一次部分積採用補碼減法**。 根據上式，還可以列出`Booth`一位乘的規則： | y(i-1) | y(i) | y(i-1) - y(i) | 操作 | | :----: | :--: | :-----------: | :-----: | | 0 | 0 | 0 | 加0 | | 0 | 1 | -1 | 減`X補` | | 1 | 0 | 1 | 加`X補` | | 1 | 1 | 0 | 加0 | 再舉個例子來計算，仍以`(-6)x(-7)`為例，補碼乘是`1010x1001`，列出豎式：  可是這裡為什麼還是有減法呢？和常規的補碼乘法器相比，簡直是老和尚抹洗頭膏，大可不必。甚至由於每次判斷兩位數字，增大了電路的複雜度，那麼為什麼booth乘法器如此好用呢？ 其實`booth`一位乘演算法並不常用，但是booth二位乘就不一樣了，通過增加一定的空間複雜度，將運算週期減為一半！ ### Booth二位乘 還是根據補碼乘法器，我們將`Y`的表示式再進行變換——先分解： $$ Y=-2*y_7*2^6+y_6*2^6+(y_5*2^6-2*y_5*2^4)+……+y_0*2^0+y_{-1}*2^0 $$ 再整合： $$ Y=(y_5+y_6-2*y_7）*2^6+（y_3+y_4-2*y_5）*2^4)+……+(y_{-1}+y_0-2*y_1)*2^0 $$ 好了`Booth`二位乘演算法也完事了，類比於`Booth`一位乘，我們也可以列出`Booth`二位乘的規則： | y(i-1) | y(i) | y(i+1) | y(i-1) + y(i) - 2*y(i+1) | 操作 | | :----: | :--: | :----: | :----------------------: | :-------------------: | | 0 | 0 | 0 | 0 | 加`0` | | 0 | 1 | 0 | 1 | 加`X補` | | 1 | 0 | 0 | 1 | 加`X補` | | 1 | 1 | 0 | 2 | 加`2*X補`，即`X補<<1` | | 0 | 0 | 1 | -2 | 減`2*X補`，即`X補<<1` | | 0 | 1 | 1 | -1 | 減`X補` | | 1 | 0 | 1 | -1 | 減`X補` | | 1 | 1 | 1 | 0 | 加`0` | 再舉個例子來計算，仍以`(-6)x(-7)`為例，補碼乘是`1010x1001`，列出豎式：  運算週期減半了！ 好了，那`Booth`乘法器有沒有三位乘呢？可以有，但是三位的時候就會出現加`3*X補`，`2*X補`可以通過左移一位得到，而`3*X補`就有點麻煩了，所以不再介紹，至於四位乘、八位乘，想挑戰的同學可以挑戰一下。 ## 設計思路 ### 減法變加法 首先我們來解決一個問題，如何把減法消除？我們知道，**減去一個數，等於加上這個數的相反數；減去一個數，也等於加上這個數的補碼。**這個過程中的減數也預設是正數，因為正數的補碼還是正數，只有正數前面加一個符號再去補碼才有用。那麼如上面豎式所寫，**減去一個負補碼，就應該等於加上“這個負補碼的補碼的相反數”**，比如上面的補碼乘法器豎式，就應該變換成如下形式：  再說明一下吧：**減`11010`，就相當於加`11010`的補碼的相反數，即加`10110`的相反數，即`00110`**。 所以`booth`一位乘演算法的示例應該變成這樣：  `booth`二位乘演算法的示例應該變成這樣：  ### vivado特性 考慮到上述減法變加法的操作後，容易總結出：減法變加法，其實就是對補碼的符號位取反，也就是對減數每一位取反後再加一。 再回讀一邊上述的理論部分，可能你會發現，在乘法運算中，只用到了**補碼**和**“負補碼”**兩種概念的數字。而在`vivado`中（相當於在處理器中），數字預設是以補碼形式儲存的，即輸入的乘數**預設就是補碼形式**，這樣只需要再求出**“負補碼”**即可。設`X[3:0]`表示一個乘數，預設是以補碼形式儲存，則其“負補碼”： $$ X_{負補碼}=!X + 1 $$ 至於其原碼： $$ X_{原碼}=(X[3],!X[2:0]) + 1 $$ 其實根本用不著。 有了以上知識儲備，我們就可以寫程式碼啦~ ## 設計檔案 ```Verilog //由於實力不夠，沒能設計成改一個數字變一個規模的程式 `define size 8 module mul_booth_signed( input wire [`size - 1 : 0] mul1,mul2, input clk, input wire [2:0] clk_cnt,//運算節拍，相當於狀態機了，8位的話每次運算有4個拍 output wire [2*`size - 1 : 0] res ); //由於傳值預設就是補碼，所以只需要再計算“負補碼”即可 wire [`size - 1 : 0] bmul1,bmul2; assign bmul1 = (~mul1 + 1'b1) ; assign bmul2 = (~mul2 + 1'b1) ;//其實乘數2的負補碼也沒用到。 //其實可以把狀態機的開始和結束狀態都寫出來，我懶得寫了，同學們可以嘗試一下啊~ parameter zeroone = 3'b00, twothree = 3'b001, fourfive = 3'b010, sixseven = 3'b011; //y(i-1),y(i),y(i+1)三個數的判斷暫存器，由於有多種情況，也可以看成狀態機（也可以改寫成狀態機形式，大家自己試試吧） reg [2:0] temp; //部分積 reg [2*`size-1 : 0] A; //每個節拍下把相應位置的資料傳給temp暫存器 always @ (posedge clk) begin case(clk_cnt) zeroone : temp <= {mul2[1:0],1'b0}; twothree : temp <= mul2[3:1]; fourfive : temp <= mul2[5:3]; sixseven : temp <= mul2[7:5]; default : temp <= 0; endcase end always @(posedge clk) begin if (clk_cnt == 3'b100) begin//如果節拍到4就讓部分積歸0，此時已經完成一次計算了 A <= 0; end else case (temp) 3'b000,3'b111 : begin//這些是從高位到低位的判斷，別看反了噢 A <= A + 0; end 3'b001,3'b010 : begin//加法操作使用補碼即可，倍數利用左移解決 A <= A + ({{8{mul1[`size-1]}},mul1} << 2*(clk_cnt-1)); end 3'b011 : begin A <= A + ({{8{mul1[`size-1]}},mul1} << 2*(clk_cnt-1) + 1); end 3'b100: begin//減法操作利用“負補碼”改成加法操作，倍數利用左移解決 A <= A + ({{8{bmul1[`size-1]}},bmul1} << 2*(clk_cnt-1) + 1); end 3'b101,3'b110 : begin A <= A + ({{8{bmul1[`size-1]}},bmul1} << 2*(clk_cnt-1)); end default: A <= 0; endcase end //當節拍到4的時候寫入結果暫存器。 assign res = (clk_cnt == 3'b100) ? A : 0; endmodule ``` 這是一個八位`Booth`二位乘演算法的乘法器，至於`Booth`一位和`Booth`四位的乘法器，大家各自嘗試就好。 此外在這個檔案當中，我用到了`clk_cnt`這個暫存器，大家是不是以為我會多用一個模組用來產生`clk_cnt`的波形？ ~~身為一個懶人，我直接在測試檔案裡寫了吼吼吼~~~ ### 綜合電路 `37`個元件，`36`個IO口，`318`根線  ## 測試檔案 ```Verilog `timescale 1ns / 1ps module mul_tb( ); reg [7:0] mul1,mul2; wire [15:0] res; reg clk; wire clk_en; reg [2:0] clk_cnt; initial begin mul1 <= -8'd7; mul2 <= -8'd3; clk <= 0; clk_cnt <= 3'b0; end always # 10 clk = ~clk; //clk_cnt發生器，懶人版 always @(posedge clk) begin clk_cnt <= clk_cnt + 1'b1; if (clk_cnt == 3'b100) clk_cnt <= 3'b00; end //每次運算結束後，讓乘數變化，以便產生不同的資料用以觀察 assign clk_en = (clk_cnt == 3'b100) ? 1'b1 : 1'b0; always @ (posedge clk_en) begin mul2 <= mul2 + 1'b1; end mul_booth_signed try(.mul1(mul1),.mul2(mul2),.res(res),.clk(clk),.clk_cnt(clk_cnt)); endmodule ``` ### 模擬波形  將其改成有符號十進位制數形式顯示，可以驗證電路設計