**一直都沒出過演算法詳解，昨天心血來潮想寫一篇，於是 dsu on tree 它來了** ## 1、前置技能 >1.鏈式前向星（vector 建圖） > >2.dfs 建樹 > >3.剖分輕重鏈，輕重兒子 | 重兒子 | 一個結點的所有兒子中擁有最多子樹的兒子 | | :----: | :------------------------------------: | | 輕兒子 | 一個結點的所有兒子中不是重兒子的兒子 | | 重邊 | 父親與重兒子的連邊 | | 輕邊 | 父親與輕兒子的連邊 | | 重鏈 | 一堆重邊連線而成的鏈 | | 輕鏈 | 一堆輕邊連線而成的鏈 | ## 2、什麼是 dsu on tree（樹上啟發式合併） ？ >dsu on tree 其實就是個優雅的暴力演算法，和它一起共被稱為優雅暴力的演算法還有莫隊 >所謂優雅的暴力大概是指：“優雅思想，暴力的操作” >例如莫隊我們知道它是將整個區間分塊，再將詢問的區間排序，最後暴力的維護所有詢問的區間 >其中 "整個區間分塊，詢問的區間排序" 為優雅的思想，而 "暴力的維護所有詢問的區間" 為暴力的操作 >因為需要將詢問的區間排序，我們就需要先將詢問的區間儲存下來，也就是要離線 >dsu on tree 和莫隊類似，也需要離線（它們同屬於靜態演算法） ## dsu on tree 優雅的思想： >對於以 u 為根的子樹 > >①. 先統計它輕子樹(輕兒子為根的子樹)的答案，統計完後刪除資訊 > >②. 再統計它重子樹(重兒子為根的子樹)的答案 ，統計完後保留資訊 > >③. 然後再將重子樹的資訊合併到 u上 > >④. 再去遍歷 u 的輕子樹，然後把輕子樹的資訊合併到 u 上 > >⑤. 判斷 u 的資訊是否需要傳遞給它的父節點（u 是否是它父節點的重兒子） ## dsu on tree 暴力的操作 > dsu on tree 暴力的操作體現於統計答案上（不同的題目統計方式不一樣） ## 3、dsu on tree 的過程演示及程式碼 ### 1.圖示 > >* 1 的重兒子為 2，輕兒子為 3 > >* 2 的重兒子為 4，輕兒子為 5 > >* 3 沒有重兒子，沒有輕兒子 > >* 4 的重兒子為 6，沒有輕兒子 > >* 5 的重兒子為 7，沒有輕兒子 > >* 6 沒有重兒子，沒有輕兒子 > >* 7 沒有重兒子，沒有輕兒子 > 為了更好觀看，我們將節點與其重兒子的連線描紅 > >我們從根節點1進入，先找1的輕兒子，發現3，進入3 > >3沒有別的兒子可以進入了，於是統計3的資訊 > >統計完後即將返回父節點 1 > >因為1-3的邊沒有被描紅邊、3不是1的重兒子（不傳遞3的資訊），所以刪除3的資訊再返回 1 > >發現1沒有別的輕兒子了，就找重兒子，發現2，進入2 > >進入2後，再找2的輕兒子，發現5，進入5 > >發現5沒有輕兒子了，就找重兒子，發現7，進入 7 > >7 沒有別的兒子可以進入了，於是統計 7 的資訊 > >統計完後即將返回父節點 5 > >因為邊5-7 有被描紅邊、7是5的重兒子，所以保留7的資訊直接返回 5（傳遞7的資訊的給5） > > 5 所有兒子都進入過了，於是統計 5 的資訊 > > 統計完後即將範圍父節點 2 > > 因為邊2-5 沒有被描紅邊、5不是2的重兒子，所以刪除5的資訊再返回 2 > > 發現2沒有其它輕兒子了，就找重兒子，發現4，進入4 > > 發現4沒有其它輕兒子了，就找重兒子，發現6，進入6 > > 6 沒有別的兒子可以進入了，於是統計 6 的資訊 > > 統計完後即將返回父節點 4 > > 因為邊4-6 有被描紅邊，6是4的重兒子，所以保留6的資訊直接返回 4（傳遞6的資訊的給4） > >4 所有兒子都進入過了，於是統計 4 的資訊 > >統計完後即將返回父節點 2 > >因為邊2-4 有被描紅邊，4是2的重兒子，所以保留4的資訊直接返回2（傳遞4的資訊的給2） > >2 所有兒子都進入過了，於是統計 2 的資訊 > >2 接受了4傳遞的資訊，但是並沒有接受5傳遞給它的資訊（被刪除了） > >於是 2 再進入5（輕兒子），統計一遍以 5 為根的子樹的資訊，再將該資訊合併到 2上 > >統計完後 2 後即將返回父節點 1 > >因為邊1-2 有被描紅邊，2是1的重兒子，所以保留2的資訊直接返回1（傳遞2的資訊的給1） > >1 所有兒子都進入過了，於是統計 1 的資訊 > >1 接受了2傳遞的資訊，但是並沒有接受3傳遞給它的資訊（被刪除了） > >於是 1 再進入3（輕兒子），統計一遍以 3 為根的子樹的資訊，再將該資訊合併到 1 上 > >至此，整個 dsu on tree 的過程結束 ### 2.程式碼 ```cpp struct Edge{ int nex , to; }edge[N << 1]; int head[N] , TOT; void add_edge(int u , int v) // 鏈式前向星建圖 { edge[++ TOT].nex = head[u] ; edge[TOT].to = v; head[u] = TOT; } int sz[N]; // sz[u] 表示以 u 為根的子樹大小 int hson[N]; // hson[u] 表示 u 的重兒子 int HH; // HH 表示當前根節點的重兒子 void dfs(int u , int far) { sz[u] = 1; for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex) // 鏈式前向星 { int v = edge[i].to; if(v == far) continue ; dfs(v , u); sz[u] += sz[v]; if(sz[v] > sz[hson[u]]) hson[u] = v; // 選擇 u 的重兒子 } } void calc(int u , int far , int val) // 統計答案 { if(val == 1) ...; // val = 1，則新增資訊 else ...; // val = -1，則刪除資訊 ...... for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex) { int v = edge[i].to; if(v == far || v == HH) continue ; // 如果 v 是當前根節點的重兒子，則跳過 calc(v , u , val); } } void dsu(int u , int far , int op) // op 等於0表示不保留資訊，等於1表示保留資訊 { for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex) { int v = edge[i].to; if(v == far || v == hson[u]) continue ; // 如果 v 是重兒子或者父親節點就跳過 dsu(v , u , 0); // 先遍歷輕兒子 ，op = 0 :輕兒子的答案不做保留 } if(hson[u]) dsu(hson[u] , u , 1) , HH = hson[u]; // 輕兒子都遍歷完了，如果存在重兒子，遍歷重兒子（事實上除了葉子節點每個點都必然有重兒子） // op = 1 ， 保留重兒子的資訊 // 當前是以 u 為根節點的子樹，所以根節點的重兒子 HH = hson[u] calc(u , far , 1); // 再次遍歷輕兒子統計答案 HH = 0; // 遍歷結束 ，即將返回父節點，所以取消標記 HH if(!op) calc(u , far , -1); // 如果 op = -1，則 u 對於它的父親來說是輕兒子，不需要將資訊傳遞給它的父親 } ``` ## 4.經典例題講解 | 題目編號 | 題目連結 | 題解連結 | | :---------------- | ------------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------- | | CF600E | https://codeforces.com/problemset/problem/600/E | https://www.cnblogs.com/StarRoadTang/p/14028212.html | | CF570D | https://codeforces.com/problemset/problem/570/D | https://www.cnblogs.com/StarRoadTang/p/14028239.html | | CF208E | https://codeforces.com/problemset/problem/208/E | https://www.cnblogs.com/StarRoadTang/p/14028265.html | | CF246E | https://codeforces.com/problemset/problem/246/E | https://www.cnblogs.com/StarRoadTang/p/14028271.html | | CF1009F | https://codeforces.com/problemset/problem/1009/F | https://www.cnblogs.com/StarRoadTang/p/14028284.html | | CF375D | https://codeforces.com/problemset/problem/375/D | https://www.cnblogs.com/StarRoadTang/p/14028290.html | | wannafly Day2 E | https://ac.nowcoder.com/acm/contest/4010/E?&headNav=acm | https://www.cnblogs.com/StarRoadTang/p/14028296.html | | ccpc2020長春站F題 | https://codeforces.com/gym/102832/problem/F | https://www.cnblogs.com/StarRoadTang/p/14028298.html | | 洛谷P4149 | https://www.luogu.com.cn/problem/P4149 | https://www.cnblogs.com/StarRoadTang/p/14028300.html | ## 5.難題進階 這是道較難的題，聽說這也是 dsu on tree 的發明人專門為這個演算法出的題 | 題目編號 | 題目連結 | 題解連結 | | -------- | -------------------------------------------- | ---------------------------------------------------- | | CF741D | https://codeforces.com/contest/741/problem/D | https://www.cnblogs.com/StarRoadTang/p/14028301.html | ```markdown ┏┛ ┻━━━━━┛ ┻┓ ┃　　　　　　┃ ┃　　　━　　　 ┃ ┃　┳┛　 ┗┳　 ┃ ┃　　　　　　 ┃ ┃　　　┻　　　 ┃ ┃　　　　　　 ┃ ┗━┓　　　┏━━━┛ ┃　　　┃ 神獸保佑 ┃　　　┃ 程式碼無BUG！ ┃　　　┗━━━━━━━━━┓ ┃　　　　　　　 ┣┓ ┃　　　　 ┏┛ ┗━┓ ┓ ┏━━━┳ ┓ ┏━┛ ┃ ┫ ┫ ┃ ┫ ┫ ┗━┻━┛ ┗━┻