Description

給定 \(n\) 個數字，分別為 \(2,3,...,n+1\)，要對每個數字染色，使得一個數字是另一個數字的質因子時，兩個數字的顏色不同，最小化使用的顏色數。求染色方案。

Solution

首先證明一定可以用兩種顏色染完。不妨用第一種顏色染所有的質數，用第二種顏色染所有的非質數，顯然滿足條件。

而當不存在任意兩個數使得一個數是另一個數的質因子時，可以用一種顏色染完所有的數。由於數字是 \(2,3,4,...,n+1\)，這種情況會發生，當且僅當 \(n \le 2\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 
const int N = 1000005;

int a[N];

signed main()
{
    //ios::sync_with_stdio(false);

    int n;
    cin>>n;
    if(n<=2)
    {
        cout<<1<<endl;
        for(int i=1;i<=n;i++) cout<<1<<" ";
    }
    else
    {
        cout<<2<<endl;
        for(int i=2;i<=n+1;i++)
        {
            if(a[i]==0)
            {
                cout<<1<<" ";
                for(int j=i+i;j<=n+1;j+=i)
                {
                    a[j]=1;
                }
            }
            else
            {
                cout<<2<<" ";
            }
        }
    }
    system("pause");
}