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題意

給\(n\)個數\(a_1,a_2,...,a_n\)，有兩個選手，依次操作，對於一個數\(a_i\)，每個人可以選擇\(a_i\)的一個因數\(k\)，將\(a_i\)分為\(k\)個\(\frac{a_i}{k}\)，如果一個人不能操作了，那麼他就輸了。問先手是否必贏。

題解

如果學過sg函式，那麼結果就是\(sg(a_1)\oplus sg(a_2)\oplus ...\oplus sg(a_n)\)是否為真值。那麼來考慮一下\(sg(x)\)的值，設\(d_1,d_2,...,d_k\)為\(x\)的因數，那麼\(x\)可以到達的狀態就是\(d_1\)個\(\frac{x}{d_1}\)

int sg(int x){
    // cout<<"x="<<x<<endl;
    if(vis[x]) return f[x];
    unordered_map<int,bool> cnt;
    for(int i=1;i*i<=x;i++){
        if(x%i!=0) continue;
        int a=i,b=x/i;
        if(b%2==0||a==1) cnt[0]=1;
        else cnt[sg(a)]=1;
        if(i==x/i||i==1) continue;
        swap(a,b);
        if(b%2==0||a==1) cnt[0]=1;
        else cnt[sg(a)]=1;
    }
    for(int i=0;;i++)
        if(!cnt[i]){
            vis[x]=1;
            return f[x]=i;
        }
}
 

當然這個程式是會超時的，可以打表看看每個數的\(sg\)值，可以發現：如果\(x=2^{b_0}a_1^{b_1}a_2^{b_2}...a_k^{b_k}\)，那麼\(sg(x)=[b_0>0]+b_1+b_2+...+b_k\)。所以直接把這個\(sg\)函式的解法換成質因數分解就可以了。

程式碼

int n,a[11];
int prime[N],vis[N],cnt;

int sg(int x){
    vector<PII> vec;
    for(int i=1;i<=cnt&&prime[i]*prime[i]<=x;i++){
        if(x%prime[i]!=0) continue;
        vec.push_back({prime[i],0});
        while(x%prime[i]==0) vec.back().y++,x/=prime[i];
    }
    if(x>1) vec.push_back({x,1});
    int res=0;
    for(PII p:vec)
        if(p.x==2) res++;
        else res+=p.y;
    return res;
}

void Solve(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res^=sg(a[i]);
    printf("%s\n",res?"W":"L");
}

int main(){
    for(int i=2;i<=1e5;i++){
        if(!vis[i]) {prime[++cnt]=i;vis[i]=1;}
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=1e5;j++){
            vis[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--) Solve();
    return 0;
}