我們平時接觸的長乘法，按位相乘，是一種時間複雜度為 O(n ^ 2) 的演算法。今天，我們來介紹一種時間複雜度為 O (n ^ log 3) 的大整數乘法(log 表示以 2 為底的對數)。

介紹原理

karatsuba 演算法要求乘數與被乘數要滿足以下幾個條件，第一，乘數與被乘數的位數相同；第二，乘數與被乘數的位數應為 2 次冪，即為 2 ^ 2,2 ^ 3,2 ^ 4， 2 ^ n 等數值。

下面我們先來看幾個簡單的例子，並以此來了解 karatsuba 演算法的使用方法。

兩位數相乘

我們設被乘數 A = 85，乘數 B = 41。下面來看我們的操作步驟：

將 A,B 一分為二，令 p = A 的前半部分 = 8，q = A 的後半部分 = 5 ， r = B 的前半部分 = 4 ，s = B 的後半部分 = 1，n = 2。通過簡單的數學運算：

A * B = pq * rs= (p * 10 + q) * (r * 10 + s) =p * r * 10 ^ 2 + (p * s + q * r ) * 10 + q * s。

令 u = p * r，v =（p - q) * (s - r)，w = q * s。所以 A * B = u * 10 ^ 2 + (u + v + w) * 10 + w。

換成數值求解的過程如下：

A * B = 85 * 41 = (8 * 10 + 5) * ( 4 * 10 + 1) = 8 * 4 * 10 * 10 + (8 * 1 + 5 * 4) * 10 + 5 * 1。

其中 u = 8 * 4 = 32，v = (8 - 5) (1 - 4) = -9，w = 5 * 1 = 5。

所以，A * B = 32 * 100 + (32 - 9 + 5) * 10 + 5 = 3485。與長乘法所得結果一致。

四位數相乘

我們設被乘數 A = 8537，乘數 B = 4123。下面來看我們的操作步驟：

將 A,B 一分為二，令 p = A 的前半部分 = 85，q = A 的後半部分 = 37 ， r = B 的前半部分 = 41 ，s = B 的後半部分 = 23，n = 4。

==> 其中，u = 85 * 41,v = (85 - 37) * (23 - 41),w = 37 * 23。

==> A * B = 8537 * 4123 = u * 10 ^ 4 + (u + v + w) * 10 ^ 2 + w = 3485_0000 +34_7200 + 851 = 35198051。

在我們計算 u， v,w 的過程中又會涉及兩位數的乘法，我們繼續使用 Karatsuba 演算法得出兩位數相乘的結果。

N 位數相乘

我們令 n 為 乘數與被乘數的位數，令 p = A 的前半部分，q = A 的後半部分， r = B 的前半部分 ，s = B 的後半部分。

==> 其中， u = p * r，v = (p - q) * (s - r)，w = q * s。

所以 A * B = u * 10 ^ n + (u + v + w) * 10 ^ (n / 2) + w。

而 u,v,w 則是兩個 n / 2 位的乘法運算。我們繼續呼叫 Karatsuba 演算法計算 u,w 的數值。接著，我們在計算 n / 2 乘法的過程中又會遇到 n / 4 位的乘法運算……以此類推，直到我們遇到兩個個位數的乘法，我們就直接返回這兩個個位數乘法的結果。層層返回，最終得到 N 位數的乘法結果。

時間複雜度

我們平常使用的長乘法，是 O (n ^ 2) 的時間複雜度。比如兩個 N 位數相乘，我們需要將每一位按規則相乘，所以需要計算 N * N 次乘法。而使用 Karatsuba 演算法每層需要計算三次乘法，兩次加法，以及若干次加法，每使用一次 karatsuba 演算法，乘法規模就下降一半。

所以，對於兩個 n = 2 ^ K 位數乘法運算，我們需要計算 3 ^ k 次乘法運算。而 K = log n(底數為 2)， 3 ^ K = 3 ^ log n = 2 ^ (log 3 * log n) = 2 ^ (log n * log 3) = n ^ log 3 （底數為 2）。

程式碼實現

from math import log2,ceil
 
def pad(string: str,real_len: int,max_len: int) -> str:
  pad_len: int = max_len - real_len
  return f"{'0' * pad_len}{string}"
 
 
def kara(n1: int,n2: int) -> int:
  if n1 < 10 or n2 < 10:
    return n1 * n2
  n1_str: str = str(n1)
  n2_str: str = str(n2)
  n1_len: int = len(n1_str)
  n2_len: int = len(n2_str)
  real_len: int = max(n1_len,n2_len)
  max_len: int = 2 ** ceil(log2(real_len))
  mid_len: int = max_len >> 1
  n1_pad: str = pad(n1_str,n1_len,max_len)
  n2_pad: str = pad(n2_str,n2_len,max_len)
  p: int = int(n1_pad[:mid_len])
  q: int = int(n1_pad[mid_len:])
  r: int = int(n2_pad[:mid_len])
  s: int = int(n2_pad[mid_len:])
  u: int = kara(p,r)
  v: int = kara(q-p,r-s)
  w: int = kara(q,s)
  return u * 10 ** max_len + (u+v+w) * 10 ** mid_len + w

輸出結果：

==> kara(123456,9734) == 123456 * 9734

==> kara(1234233456756,32459734) == 1234233456756 * 32459734

以上就是本文的全部內容，希望對大家的學習有所幫助，也希望大家多多支援我們。