一、什麼是樹

客觀世界中許多事物存在層次關係

人類社會家譜社會組織結構圖書資訊管理

其中，人類社會家譜如下圖所示：

通過上述所說的分層次組織，能夠使我們在資料的管理上有更高的效率！那麼，對於資料管理的基本操作——查詢，我們如何實現有效率的查詢呢？

二、查詢

查詢：根據某個給定關鍵字K，從集合R中找出關鍵字與K相同的記錄

靜態查詢：集合中記錄是固定的，即對集合的操作沒有插入和刪除，只有查詢

動態查詢：集合中記錄是動態變化的，即對集合的操作既有查詢，還可能發生插入和刪除（動態查詢不在我們考慮範圍內）

2.1 靜態查詢 2.1.1 方法1：順序查詢

/* c語言實現 */

int SequentialSearch (StaticTable *Tbl,ElementType K)
{
// 在表Tbl[1]~Tb1[n]中查詢關鍵字為K的資料元素
 int i;
 Tbl->Element[0] = K; // 建立哨兵，即沒找到可以返回哨兵的索引0表示未找到
 for (i = Tbl->Length; Tbl->Element[i] != K; i--); // 查詢成功返回所在單元下標；不成功放回0
 return i;
}

順序查詢演算法的時間複雜度為O(n)

2.1.2 方法2：二分查詢（Binary Search）

假設n個數據元素的關鍵字滿足有序（比如：小到大），即\(k_1<k_2<\cdots<k_n\)，並且是連續存放（陣列），那麼可以進行二分查詢。

例：假設有13個數據元素，按關鍵字由小到大順序存放。二分查詢關鍵字為444的資料元素過程如下圖：

仍然以上面13個數據元素構成的有序線性表為例，二分查詢關鍵字為43的資料元素如下圖：

/* c語言實現 */

int BinarySearch (StaticTable *Tbl,ElementType K)
{
 // 在表中Tbl中查詢關鍵字為K的資料元素
 int left,right,mid,NoFound = -1;
 
 left = 1; // 初始左邊界
 right = Tbl->Length; // 初始右邊界
 while (left <= right)
 {
  mid = (left + right) / 2; // 計算中間元素座標
  if (K < Tbl->Element[mid]) right = mid - 1; // 調整右邊界
  else if (K > Tbl->Element[mid]) left = mid + 1; // 調整左邊界
  else return mid; // 查詢成功，返回資料元素的下標
 }
 return NotFound; // 查詢不成功，返回-1
}

# python語言實現

def binary_chop(alist,data):
  n = len(alist)
  first = 0
  last = n - 1
  while first <= last:
    mid = (last + first) // 2
    if alist[mid] > data:
      last = mid - 1
    elif alist[mid] < data:
      first = mid + 1
    else:
      return True
  return False

二分查詢演算法具有對數的時間複雜度O(logN)

二分查詢演算法雖然解決了查詢的時間複雜度問題，但是對於資料的插入和刪除確是O(n)的，因此有沒有一種資料結構，既可以減少資料查詢的時間複雜度，又可以減少資料的插入和刪除的複雜度呢？

三、二分查詢判定樹

除了使用上述兩個方法進行關鍵字的查詢，我們還可以通過二叉樹這種資料結構完成關鍵字的查詢。

從上圖可以看出，如果我們需要尋找數字8，可以通過以下4步實現（可能看不懂，未來會看得懂）：

根節點6小於8，往6的右子節點9找結點9大於8，往9的左子結點7找結點7小於8，往7的左子結點找找到8 判定樹上每個結點需要的查詢次數剛好為該結點所在的層數；查詢成功時查詢次數不會超過判定樹的深度 N個結點的判定樹的深度為\([log_2{n}]+1\) \(ASL = (4*4+4*3+2*2+1)/11 = 3\) 四、樹的定義

樹（Tree）：\(n(n\geq{0})\)個結點構成的有限集合。

當n=0時，稱為空樹對於任一顆非空樹（n>0），它具備以下性質： 樹中有一個稱為根（Root）的特殊結點，用r表示其餘結點可分為m（m>0）個互不相交的有限集\(T_1,T_2,\cdots,T_m\)，其中每個集合本身又是一棵樹，稱為原來樹的子樹（SubTree）

五、樹與非樹

牢記樹有以下3個特性：

子樹是不相交的；除了根結點外，每個結點有且僅有一個父結點；一顆N個結點的樹有N-1條邊 5.1 非樹

5.2 樹

六、樹的一些基本術語

結點的度（Degree）：結點的子樹個數樹的度：樹的所有結點中最大的度數葉結點（Leaf）： 度為0的結點父結點（Parent）：有子樹的結點是其子樹的根結點的父結點子結點（Child）：若A結點是B結點的父結點，則稱B結點是A結點的子結點；子結點也稱孩子結點

兄弟結點（Sibling）：具有同一父結點的各結點彼此是兄弟結點

路徑和路徑長度：從結點\(n_1\)到\(n_k\)的路徑為一個結點序列\(n_1,n_2,n_k\),\(n_i\)是\(n_{i+1}\)的父結點。路徑所包含邊的個數為路徑的長度

祖先結點(Ancestor)：沿樹根到某一結點路徑上的所有結點都是這個結點的祖先結點

子孫結點(Descendant)：某一結點的子樹中的所有結點是這個結點的子孫

結點的層次（Level）：規定根結點在1層，其它任一結點的層數是其父結點的層數加1

樹的深度（Depth）：樹中所有結點中的最大層次是這棵樹的深度

七、樹的表示

7.1 樹的連結串列表示

上圖所示樹的連結串列表示法有很大的缺陷，假設樹的深度非常大，並且不能保證所有樹的子結點都有3個，那麼會造成很大程度的浪費。

7.2 樹的連結串列（兒子-兄弟）表示法

為了解決樹的普通連結串列表示會有空間的浪費的缺陷，我們可以把連結串列的指標設定兩個連結，一個連結指向兒子結點，另一個連結指向兄弟結點，如下圖所示：

上圖所示的樹的表示方法，已經足夠完美了，但是如果我們把連結串列表示的樹旋轉45°角，會發現如下圖所示：

經過45°角的旋轉，我們會發現一顆二叉樹（一個結點至多擁有2個子結點的樹），也就是說最普通的樹其實可以通過二叉樹表示，也就是說我們只要把二叉樹研究透了，我們即研究透了樹。

以上就是本次全部相關知識點內容，感謝大家的閱讀和對我們的支援。