樹形結構

• 一個結構不空，其中就存在這唯一的起始結點，稱為樹根（root）
• 按結構的連線關係，樹根外的其餘結點都有且只有 一個前驅，但另一方面，一個結點可以有 0個或者多個後繼，另外，在非空的樹結構中一定有寫結點並不連線到其他結點，這種結點與表的尾結點性質類似，但一個樹結構裡可以存在多個 這種結點
• 結構裡的所有結點都 在樹根結點通過後繼關係可達的結點集合裡，換句話說，從樹根結點出發，經過若干次後繼關係可以達到結構中的任意結點。
• 從這種結構 裡的任意兩個 不同結點出發，通過後繼關係可達的兩個結點的幾個，或者互不相交，或者一個集合是另一個集合的子集

二叉樹

• 二叉樹是一種最簡單的樹形結構，其特點是樹中每個結點之多 關聯到兩個後繼結點，也就是說，一個結點的關聯結點數可以 是0，1或2。另一個特點是一個結點關聯的後繼結點明確地分左右，或為其左關聯結點，或為其右關聯結點。
• 二叉樹定義：二叉樹是結點的有窮集合，這個集合或者是空集，或者其中有一個稱為根節點的特殊結點，其餘結點分數兩棵不相交 的 二叉樹，這兩顆二叉樹分別是原二叉樹（或者說是原二叉樹的根節點）的左子樹和右子樹
• 如圖所示，途中給出了幾種二叉樹，其中左邊一棵樹比較符合直觀，根結點有兩棵子樹，具有一層層 的結構；中間是一棵只包含根結點的二叉樹；右邊也是一棵二叉樹，但其每個結點都只有一棵右子樹
• 概念：
  • 不包含任何結點的二叉樹稱為空樹
  • 只包含一個結點的二叉樹是一棵單點樹
  • 一般而言 ，一棵二叉樹可以包含任一個結點
  • 一棵二叉樹的根節點稱為該樹的子樹根結點的父結點，與之對應，子樹的根節點稱為二叉樹樹根結點的子節點，父結點與子節點的概念是相對的
  • 可認為從父結點到子結點有一條連線，稱為從父結點到子結點的邊，注意，這種邊有方向，形成一種單方向的父結點/子結點關係。基於父子關係可以定義其傳遞關係，稱為祖先/子孫關係，它決定一個結點的祖先結點，或子孫結點。父結點相同的兩個結點互為兄弟結點。
  • 在二叉樹裡有些結點的兩棵子樹 都空，沒有子結點，這種結點稱為樹葉（結點）。書中其餘 結點 稱為分支結點
  • 一個結點的子結點個數稱為該結點的度數，顯然，二叉樹中樹葉結點的度數為0，分支結點的度數是 1或者2
• 路徑：從一個祖先結點到其任何子孫結點都存在一系列邊，形成從前者到後者的聯絡，這樣一些列首尾相連的邊稱為樹中的一條路徑，路徑中邊的條數稱為該路徑的長度，顯然，從一個結點到其子結點有一條長度為1的路徑，每個結點到其自身有一條長度為0的路徑
• 層：二叉樹是一種層次結構，將其樹根看作最高層元素，如果有子結點，其子結點看作下一層元素，規定二叉樹樹根層數為0，對位於k層的結點，其子結點是k+1層元素，如此下去，二叉樹的所有結點可以按這種關係分為一層層元素，易見，從樹根到任一結點的路徑長度就是該結點所在 的層數，也稱為該節點的層數
• 高度：一棵二叉樹的高度（也稱為深度）是樹中結點的最大層數，也就是這棵樹裡最長路徑的長度，樹的高度是二叉樹的整體性質，只有根節點的樹高度為0

滿二叉樹：如果二叉樹 中所有 分支結點的度數都是2，則稱它為一棵滿二叉樹。滿二叉樹是一般二叉樹的一個子集，如圖所示：

擴充二叉樹：對二叉樹T,加入足夠多的新葉結點，使T的原有結點都邊稱度數為2的分支結點，得到的二叉樹稱為T的擴充二叉樹，擴充二叉樹中新增的結點稱為外部結點，原樹T的結點稱為內部結點，空樹的擴充套件二叉樹規定為空樹。如下圖所示：

完全二叉樹：對於 一棵高度為 h的二叉樹，如果其第0層至第h-1層的結點都滿 ，也就是說，對所有0<=i<=h-1，第i層都有兩個結點，如果下一層的結點不滿，則所有結點在最左邊連續排列，空位都在最右邊，這樣的二叉樹就是一個完全二叉樹。如圖

下面是一個基本的二叉樹抽象資料型別的定義

ADT BinTree:  # 一個二叉樹抽象資料型別
    BinTree(self,data, left, right)  # 構造操作，建立一個新的二叉樹
    is_empty(self)  # 判斷self是否為一個空二叉樹
    num_nodes(self)  # 求二叉樹的結點個數
    data(self)  # 獲取二叉樹根儲存的資料
    left(self)  # 獲取二叉樹的左子樹
    right(self)  # 獲取 二叉樹的右子樹
    set_left(self, btree)  # 用btree取代原來的左子樹
    set_right(self, btree)  # 用btree取代原來的右子樹
    traversal(self)  # 遍歷二叉樹中各結點資料的迭代器
    forall(self, op)  # 對二叉樹中的每個結點的資料執行操作op

二叉樹的基本操作包括建立二叉樹，判斷是否是空樹，子樹操作，結點遍歷

遍歷二叉樹

• 每棵二叉樹右唯一的根結點，可以將其看作這棵二叉樹的唯一標識，是基於樹結構的處理過程的入口。二叉樹中每個結點可能儲存一些資料，因此也是彙集型的資料結構。
• 遍歷一棵二叉樹，就是按照某種系統化的方式範文二叉樹裡的每個結點一次，這一過程可以基於二叉樹的基本操作實現，遍歷中可能操作結點裡的資料
• 二叉樹的結構比較複雜，因此係統化遍歷右多種可能的方式，下面討論集中不同的演算法：
• 深度優先遍歷：順著一條路經儘可能向前探索，必要時回溯，對於二叉樹，最基本的回溯情況就是檢查完一個葉結點，由於無路可走，只能回頭
  • 按深度優先方式遍歷一棵二叉樹，需要做三件事：
    • 遍歷左子樹
    • 遍歷右子樹
    • 訪問根結點
  • 下面用L、R、D表示這三項工作，如圖所示，選擇這三項工作的不同執行順序，就可以得到三種常見的遍歷順序，
    • 先根序遍歷---按DLR順序
    • 中根序遍歷---按LDR順序
    • 後根序遍歷---按LRD順序
  • 在遍歷過程中遇到子樹為空的情況，就立即結束處理並轉去繼續做下一步工作，例如，在先根序中遇到左子樹為空，就轉去遍歷相應的右子樹。
  • 例子，按不同的深度優先方式遍歷下圖二叉樹
  • 按先根序遍歷,先訪問根節點，而後以同樣方式順序遍歷左子樹和右子樹，得到的結點訪問序列：ABDHEICFJKG
  • 按後根序遍歷，先以同樣方式遍歷左右子樹，最後訪問根節點，得到順序：HDIEBJKFGCA
  • 按中根序遍歷，先以同樣方式遍歷左子樹，而後 訪問根節點，最後再以同樣方式遍歷右子樹，得到的遍歷序列：DHEIBAJFKCG
• 寬度優先遍歷：按路徑長度由近到遠的訪問結點，常見在每一層裡都 從左到右逐個訪問，上圖寬度優先遍歷結果為：ABCDEFGHIJK