第6章 樹型結構

• 一、樹的基本概念
• 二、樹類的定義
• 三、樹的儲存結構 （大概率不考）
  • 3.1 雙親表示法
    • 3.1.1 樹的儲存結構（雙親表示法）
  • 3.2 孩子表示法
  • 3.3 孩子兄弟表示法
• 四、樹的遍歷
• 五、樹的線性表示（大綱未規定）
  • 5.1 樹的括號表示
  • 5.2 樹的層號表示
• 六、演算法設計題
• 七、錯題集

一、樹的基本概念

1. 樹：由 \(n(n>=0)\) 個結點構成的有限集合
2. 根：有且僅有一個特定的結點
3. 結點的度：結點擁有的子女數
4. 樹的度：所有結點度的最大值
5. 度為 \(0\) 的結點：終端結點（葉子結點）
6. 度不為 \(0\) 的結點：非終端結點（分支結點）
7. 樹枝：連線兩個結點的線段
8. 結點的層次：根結點為第 \(1\)
   層，根的子女結點為第 \(2\) 層
9. 樹的高度：樹中結點最大層次樹
10. 有序樹：任意結點的子樹看成是從左到右有次序，不能隨意交換，否則為無序樹
11. 森林：\(m(m>=0)\) 棵互不相交的樹構成的集合（在森林的每棵樹之上加一個共同的根，森林則成了一棵樹）

二、樹類的定義

1. 略

三、樹的儲存結構 （大概率不考）

1. 樹的三種常用儲存結構：雙親表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法

3.1 雙親表示法

1. 樹的結點包含兩個資訊：結點的值 \(data\) 和體現結點之間相互關係的屬性——該結點的雙親 \(parent\)

3.1.1 樹的儲存結構（雙親表示法）

#define MAXSIZE 100 // 樹中結點個數的最大值
typedef char datatype;   // 結點值的型別
// 結點的型別
typedef struct node {
    datatype data;
    int parent; // 結點雙親的下標
} node;
// 樹的型別
typedef struct tree {
    node treelist[MAXSIZE]; // 存放結點的陣列
    int length, root; // 樹中實際所含結點的個數及根節點的位置
} tree;
 

3.2 孩子表示法

1. 略

3.3 孩子兄弟表示法

1. 略

四、樹的遍歷

1. 前序遍歷：首先訪問根結點，再從左到右依次按前序遍歷的方式訪問根結點的每一棵子樹

2. 後序遍歷：首先按後序遍歷的方式訪問根結點的每一棵子樹，然後再訪問根結點

3. 層序遍歷：首先訪問第一層上的根結點，然後從左到右依次訪問第二層上的所有結點，……，最後訪問樹中最低一層的所有結點。

4. 圖樹的遍歷：

5. 樹的遍歷常用操作：

   1. 樹的前續遍歷的遞迴演算法
   2. 樹的後序遍歷的遞迴演算法
   3. 按前序遍歷順序建立一顆 \(3\) 度樹
   4. 樹的層次遍歷演算法

五、樹的線性表示（大綱未規定）

1. 注：僅憑藉樹的某種遍歷序列有時無法唯一地確定一棵樹，但只要在遍歷序列的基礎上加上一些附加資訊，即可唯一地確定一棵樹

5.1 樹的括號表示

1. 常用操作：

   1. 樹的括號表示到樹的孩子表示的轉換演算法

2. 圖樹的括號表示：

5.2 樹的層號表示

1. 常用操作：

   1. 樹的層號表示到樹的擴充孩子表示的轉換演算法

2. 圖樹的層號表示：

六、演算法設計題

1. 略

七、錯題集

1. 樹最適合用來表示具有有序性和層次性的資料

2. 在選擇儲存結構時，既要考慮資料值本身的儲存，還需要考慮資料間關係的儲存

3. （真題）對於一顆具有 \(n\) 個結點的樹，該樹中所有結點的度數之和為 \(n-1\)

4. 已知一棵度為 \(m\) 的樹中有 \(n_1\) 個度為 \(1\) 的結點， \(n_2\) 個度為 \(2\) 的結點，……，\(n_m\) 個度為

   \(m\) 的結點，問該樹中有多少個葉子結點？

   1. 樹中結點總數 \(n=n_0+n_1+n_2+…+n_m\)

   2. 樹中結點的度數之和為 \(n-1\)，且有：\(n-1=n_1+2*n_2+3*n_3+\cdots+m*n_m\) （用上題 \(3\) 的定理）

   3. 所以葉子結點個數為：\(n_0=1+n_2+2*n_3+\cdots+(m-1)*n_m\)