1.lower_bound & upper_bound

Ⅰ 作用

兩者均屬STL函式，在標頭檔案 algorithm 中

假設我們查詢x，那麼：

lower_bound會找出序列中第一個大於等於x的數

upper_bound會找出序列中第一個大於x的數

沒錯這倆就差個等於號╮(╯▽╰)╭

Ⅱ 用法

以下都以lower_bound做栗子 (因為upper_bound做出的栗子不好吃)

(兩者使用方法同理)

它們倆使用的前提是一樣的：序列是有序的

對於一個數組a，在[1,n]的區間內查詢大於等於x的數(假設那個數是y)，函式就寫成：

lower_bound(a + 1, a + 1 + n, x);
 

函式返回一個指向y的指標

看著是不是很熟悉？回想sort使用的時候：

sort(a, a + 1 + n, cmp);

這裡a+1,a+1+n的寫法是不是很像？

STL裡面的函式寫區間一般都這個尿性

同樣的，lower_bound和upper_bound也是可以加比較函式cmp的：

lower_bound(a + 1, a + 1 + n, x, cmp);

到這裡不得不說說前面的"有序序列"，這裡的"有序"是對什麼有序？

你可能已經猜到了，它是對於比較器有序，並且必須是升序！

(為什麼不是降序？這個你可能要去問問寫STL的人)

一旦對降序序列使用lower_bound，就會出現神奇的錯誤，具體原因可以看這篇：

https://blog.csdn.net/qq1337715208/article/details/81072709

當然比較器預設也是"＜"

如果要在一個下降序列裡尋找一個小於x的數呢？

根據我們之前說的，lower_bound只能對上升序列使用，那我假裝下降序列是個上升序列就行了嘛～

(lower_bound：你當我傻嗎)(w1049：沒錯我就當你傻)

只需要把比較器改成">"：

同時需要寫一個函式cmp：

bool cmp(const int& a,const int& b){return a > b;}

當然，你也可以這樣：

lower_bound(a + 1, a + 1 + n, x, greater <int> () );
 

這裡的greater()就是c++友情提供的方便的大於函式，這樣就不用自己動手寫一個cmp函數了(其實就是懶)

它們的實現方式是二分查詢 ，存在的意義就是讓我們寫程式碼更方便地偷懶(一行lower_bound比寫二分查詢方便多了)

Ⅲ返回值

對於返回值我們有兩種處理方式：

第一種：

許多人討厭指標，那麼我們用這個指標減去陣列開頭的指標(即陣列名)，得到兩個指標的差，就是陣列下標，即：

int p = lower_bound(懶得寫) - a;

那麼a[p]就是要找的y

(如果不知道為什麼就記著好了)

第二種：

指標好！指標妙！

改革春風吹滿地，用指標的oier真爭氣！

(以上兩行你可以當做什麼都沒看見)

int *p = lower_bound(還是懶得寫);

那麼*p就是要找的y

可以看出指標多麼直接，不像陣列下標還要倒騰一遍

總結一下：

好像沒什麼可總結的QwQ

對一個下降序列a

int p = lower_bound(a + 1, a + 1 + n, x, greater <int> () ) - a;

a[p]即a[1]到a[n]中第一個小於等於x的數

(被遺忘的upper_bound表示不服)

2.nlog(n)演算法實現

Ⅰ實現方法

首先我們需要一個數組a，儲存從第1個到第n個導彈的高度

然後一個數組d(其實是個棧)，儲存不上升序列

把a中的每個元素挨個加到d裡面：

(a中第i個元素為a[i]，d長度為len，d中最後一個(也是最小的一個)為d[len])

如果a[i] <= d[len]，說明a[i]可以接在d後面(而整個d還是有序的)，那就簡單粗暴地把a[i]丟進d：

d[++len] = a[i]

如果a[i] > d[len]，說明a[i]接不上
但是我們發揚瞎搞精神：接的上要接，接不上創造條件也要接！

強行把a[i]塞進去：
在d中找到第一個小於a[i]的數，把它踹了，用a[i]代替它！(為什麼正確在下面）

假設這個數是y，怎樣踹掉它呢？

很明顯，我們需要使用lower_bound和upper_bound來查詢

第一步，找一個聽起來無比正確的理由，比如它佔著位置不幹活啦，幹起活來還不如a[i]啦，naive啦，它too young啦，too simple啦......反正能騙過lower_bound和upper_bound就行

(lower_bound&&upper_bound：你當我們傻)(w1049：真聰明)

接下來，特別有正義感的lower_bound和upper_bound就會去把y給拎出來

第二步，考慮使用什麼

我們知道，要求的是最大不上升子序列長度，也就是如果兩個元素相等也是可以的

所以我們踹人就不用踹等於a[i]的了

結合上面，應該使用upper_bound(終於想起來它了)並且使用>作為比較器(這是個下降序列)

第三步，直接開搞

int p = upper_bound(d + 1, d + 1 + len, a[i], greater<int>()) - d;
  
d[p] = a[i];

成功把a[i]塞了進去

Ⅱ 為什麼正確

若被替代掉的即為最大不上升子序列中的某一元素
那麼替代者與剩下的元素的關係依然滿足與被替代者的關係，顯然成立（也就是說替代者可以完全替代被替代者，並且擁有更廣泛的天空）
為什麼說是更廣泛的天空？
因為被替代者可以取到的範圍更大，它不僅可以做到代替作用，同時可以更新自己的序列，做到一箭雙鵰
這也就是為什麼這個演算法只能求長度而不能求具體的陣列

實際上，d[i] 的含義是：最大不上升子序列長度為 i 時，最優的結尾元素。