洛谷 P3979 遙遠的國度

洛谷傳送門

題目描述

zcwwzdjn 在追殺 zhx ，而 zhx 逃入了一個遙遠的國度。當 zcwwzdjn 準備進入遙遠的國度繼續追殺時，守護神 RapiD 阻攔了 zcwwzdjn 的去路，他需要 zcwwzdjn 完成任務後才能進入遙遠的國度繼續追殺。

問題是這樣的：遙遠的國度有 nn 個城市，這些城市之間由一些路連線且這些城市構成了一顆樹。這個國度有一個首都，我們可以把這個首都看做整棵樹的根，但遙遠的國度比較奇怪，首都是隨時有可能變為另外一個城市的。遙遠的國度的每個城市有一個防禦值，第 ii 個的防禦值為 val_ival**i，有些時候 RapiD 會使得某兩個城市之間的路徑上的所有城市的防禦值都變為某個值。

RapiD 想知道在某個時候，如果把首都看做整棵樹的根的話，那麼以某個城市為根的子樹的所有城市的防禦值最小是多少。

由於 RapiD 無法解決這個問題，所以他攔住了 zcwwzdjn 希望他能幫忙。但 zcwwzdjn 還要追殺 zhx，所以這個重大的問題就被轉交到了你的手上。

輸入格式

第 11 行兩個整數 n\ mn m，代表城市個數和運算元。

第 22 行至第 nn 行，每行兩個整數 u\ vu v，代表城市 uu 和城市 vv 之間有一條路。

第 n+1n+1 行，有 nn 個整數，第 ii 個代表第 ii 個點的初始防禦值 val_ival**i。

第 n+2n+2 行一個整數 idi**d

第 n+3n+3 行至第 n+m+2n+m+2 行，首先有一個整數 optopt。

如果 opt=1opt=1，接下來有一個整數 idi**d，代表把首都修改為 idi**d；

如果 opt=2opt=2，接下來有三個整數 x\ y\ vx y v，代表將 x\ yx y 路徑上的所有城市的防禦值修改為 vv；

如果 opt=3opt=3，接下來有一個整數 idi**d，代表詢問以城市 idi**d 為根的子樹中的最小防禦值。

輸出格式

對於每個 opt=3opt=3 的操作，輸出一行代表對應子樹的最小點權值。

題解：

前置知識，樹鏈剖分。

附上講解連結：

淺談樹鏈剖分

學習完樹鏈剖分我們可以完美地解決鏈上修改操作和子樹查詢操作。

就是這個換根，真的煩人。

思考換根的處理方法：

如果每次暴力重構樹，重新進行樹鏈剖分的話，顯然不行。這個複雜度只能支援我們進行一次樹鏈剖分的預處理。那麼我們只能考慮如何用一次預處理，只在查詢上下些功夫，來解決掉這個換根問題。

通過換根DP的啟發，我們可以發現，探究性質是一個不錯的選擇。

隨便手畫幾個圖。發現，改完根之後，對於大多數節點的答案是沒有影響的。

所以想到分類討論：什麼情況下對答案沒有影響，什麼情況下對答案有影響。

• 情況1：詢問點idx與當前根now重合。此時即為全域性最小值。

• 情況2：詢問點與當前根離得很遠，不在一條鏈上，或者從1到now不包括詢問點idx。此時對答案不影響，直接樹剖詢問子樹輸出即可。

• 情況3：詢問點在1到now的鏈上，此時對答案有影響。

於是我們考慮有什麼影響。隨便手畫圖可以看出，這時詢問點的答案只不包括詢問點到當前根這整條路徑（一直到底）這部分。所以我們可以求兩個最小值，再求一次最小。類似於容斥原理的思想。

所以有程式碼：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define lson pos<<1
#define rson pos<<1|1
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int INF=2147483647;
int n,m;
int tot,to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],head[maxn],a[maxn];
int size[maxn],deep[maxn],fa[maxn],son[maxn],top[maxn],id[maxn],cnt,w[maxn];
int tree[maxn<<2],lazy[maxn<<2];
int now;
int tmp;
bool flag;
void add(int x,int y)
{
    to[++tot]=y;
    nxt[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
void dfs1(int x,int f)
{
    deep[x]=deep[f]+1;
    fa[x]=f;
    size[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(y==f)
            continue;
        dfs1(y,x);
        size[x]+=size[y];
        if(!son[x]||size[y]>size[son[x]])
            son[x]=y;
    }
}
void dfs2(int x,int t)
{
    top[x]=t;
    id[x]=++cnt;
    w[cnt]=a[x];
    if(!son[x])
        return;
    dfs2(son[x],t);
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(y==fa[x]||y==son[x])
            continue;
        dfs2(y,y);
    }
}
void build(int pos,int l,int r)
{
    int mid=(l+r)>>1;
    if(l==r)
    {
        tree[pos]=w[l];
        return;
    }
    build(lson,l,mid);
    build(rson,mid+1,r);
    tree[pos]=min(tree[lson],tree[rson]);
}
void mark(int pos,int l,int r,int k)
{
    tree[pos]=k;
    lazy[pos]=k;
}
void pushdown(int pos,int l,int r)
{
    int mid=(l+r)>>1;
    mark(lson,l,mid,lazy[pos]);
    mark(rson,mid+1,r,lazy[pos]);
    lazy[pos]=0;
}
void update(int pos,int l,int r,int x,int y,int k)
{
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=l && r<=y)
    {
        mark(pos,l,r,k);
        return;
    }
    if(lazy[pos])
        pushdown(pos,l,r);
    if(x<=mid)
        update(lson,l,mid,x,y,k);
    if(y>mid)
        update(rson,mid+1,r,x,y,k);
    tree[pos]=min(tree[lson],tree[rson]);
}
void upd_chain(int x,int y,int k)
{
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if(deep[top[x]]<deep[top[y]])
            swap(x,y);
        update(1,1,n,id[top[x]],id[x],k);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(deep[x]<deep[y])
        swap(x,y);
    update(1,1,n,id[y],id[x],k);
}
int goal(int x,int y)
{
	while(top[x]!=top[y])
    {
		if(deep[top[x]]<deep[top[y]])
            swap(x,y);
		if(fa[top[x]]==y)
            return top[x];
		x=fa[top[x]];
	}
	if(deep[x]>deep[y])
        swap(x,y);
	return son[x];
}
int query(int pos,int l,int r,int x,int y)
{
    int ret=INF;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=l && r<=y)
        return tree[pos];
    if(lazy[pos])
        pushdown(pos,l,r);
    if(x<=mid)
        ret=min(ret,query(lson,l,mid,x,y));
    if(y>mid)
        ret=min(ret,query(rson,mid+1,r,x,y));
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    dfs1(1,0);
    dfs2(1,1);
    build(1,1,n);
    scanf("%d",&now);
    while(m--)
    {   
        int opt,idx,x,y,v;
        scanf("%d",&opt);
        if(opt==1)
        {
            scanf("%d",&idx);
            now=idx;
        }
        else if(opt==2)
        {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&v);
            upd_chain(x,y,v);
        }
        else
        {
            scanf("%d",&idx);
            if(idx==now)
                printf("%d\n",tree[1]);
            else if(deep[idx]<deep[now]&&fa[tmp=goal(idx,now)]==idx)
            {
                int a,b,c;
                a=query(1,1,n,1,id[tmp]-1);
                b=query(1,1,n,id[tmp]+size[tmp],n);
                printf("%d\n",min(a,b));
            }
            else
                printf("%d\n",query(1,1,n,id[idx],id[idx]+size[idx]-1));
        }
    }
    return 0;
}