歐幾里德關係的S5—劉易斯邏輯之十一

劉易斯嚴格蘊涵系統的結構是由S1-S5五個系統構成:，前述數篇已經討論過S1-S4，這一篇輪到劉易斯結構中的最後一個構件：S5。
依據C.E.Hughes的說法，模態邏輯系統的命名傳統來自C.I.劉易斯，他的S1-S5成為給模態系統命名的一個樣板。劉易斯這五個系統，不僅是此後模態命名的標準，這五個系統的出現，還引發邏輯學家對於模態的持續關注。從模態證明延展到模態語義，對模態語義的研究，最初產生了代數語義學。但很快，模態語義學的研究，很快就從代數語義學，走向關係語義學。
關係語義學對於模態的語義分析，讓C.I.劉易斯的五個嚴格蘊涵系統，隨之就有了正規模態和非正規模態之分。其中的S1-S3，是非正規模態邏輯，而其中的S4-S5，則是正規模態邏輯。上篇有關S4的簡述指明，S4是具有傳遞性關係的正規模態，那麼眼下的S5會是一個何種關係的正規模態呢？

一、C.I.劉易斯的S5
C.I.劉易斯為S1-S3，給出了二套公理集合A和B。但由這兩套公理集合來構成的3個系統，對於帶有模態函項◇的基本公式來說，依然有一些無法判定的性質。德國邏輯學家奧斯卡.貝克（Oskar.Becker1889-1964），一個直覺主義的邏輯學家，建議使用帶有模態函項的公理來判定這些模態的性質，劉易斯拿來貝克的這四個公理：C10-C13，繼續構造他的嚴格蘊涵系統，那就是S4-S5。這裡再次給出貝克的四個公理，分別如下所述：
C10. ∼◇∼p==>∼◇∼∼◇∼p 或者∼◇∼∼◇∼p∼◇∼p
C11. ◇p>∼◇∼◇p 或者◇p∼◇∼◇p
C12. p>∼◇∼◇p

貝克照片

但C.I.劉易斯似乎只用到其中的C10和C11，系統S4，特徵公理就是C10。本篇描述的S5，C.I.劉易斯最後一個嚴格蘊涵系統，它除了有公理集合B1-7之外，特徵公理則是C11。也許因為貝克是一個布勞威爾直覺主義的邏輯學家，C.I.劉易斯也就順便帶上C12，著名的布勞威爾公理。而公理C13，和C.I.劉易斯的S1—S3是相容的，或者說是一致的。這反映出劉易斯S1-S3的一個特殊性質，這個性質可以表述為：任意的命題都是可能的。
C,I.劉易斯要引介出這個C13公理，這就十分自然，因為它反映出的，正是S1-S3的某個特殊性質。
什麼樣的特殊性質呢？我們來看C13的直觀語義。

另一方面，和S2-S3相關的特性是，它們不含有C13，但是卻與C13是相容的。這意味著這兩個系統相容於這個觀念：每一個命題都是“可能可能的”。這也暗含著，在S2和S3模型中的一個關鍵性觀念，也許存在某些世界，在這類世界中，任意一個命題，完全沒有例外，都是可能的，甚至像p∧∼p這樣的自相矛盾命題，也是可能的。
（C.I.Hughes and M.J.Cresswell《模態邏輯新引論》英文版第201頁）

這類世界其實就是後來被美國學者克里普克命名的非正規世界，在這樣的世界，連自相矛盾這樣的陳述，也是可以接受的。這讓人聯想到時下時髦的一個口號：
“沒有不可能！”
換一個等價表示式就成為：
“一切皆可能！”
圖片：一切皆可能

真有這樣的世界嗎？當世界整個地陷於瘋狂和魔幻，真還可能是：“一切皆可能”。
好在還有正規世界，S4是一個正規世界的模態系統，C.I.劉易斯繼續構造而成的S5，也是一個正規世界的模態系統，它們都和以上提到的C13不相容。
我們再來熟悉一下S4，特別是S5所具有的特徵公理：
C10. ∼◇∼p==>∼◇∼∼◇∼p
C11. ◇p==>∼◇∼◇p
因為 □p=∼◇∼p，這個C10和C11. 作為特徵公理，就可以表述為：
C10. □p==>□□p
C11. ◇p==>□◇p
用自然語言來解讀，C11可以表述為：
“可能p嚴格蘊涵著必然可能p”。
如果C11和公理C10要來一個直觀對比，C10可以表述為：
“必然p嚴格蘊涵著必然必然p”。
在模態邏輯中，怎麼會有這麼不合自然語言常規的模態表示式呢？這真是一個不大好回答的問題，一類不讓人省心的模態困惑。也許，邏輯學家們對於S5的評論，會對我們理解這類天書般的表示式有點幫助。

二、如何看待S5的特徵公理◇p==>□◇p？
如同前述系統的擴張那樣，S5是S4的擴張，它含有所有S4的定理。S5的邏輯意義，C.I.劉易斯做了這樣的論述：

系統S5把系統中所有的命題，分成了互為排斥的兩個型別：一個型別是內涵的型別或者模態的型別，一個型別是外延的或者偶然的型別。依據這個系統的法則，所有內涵的或者模態的命題或者必然真，或者必然假。結果就成為，對於任意模態命題—這些模態命題就可以表示為pm——
◇（pm）=（pm）=∼◇∼（pm），並且
◇∼（pm）=∼（pm）=∼◇（pm）
然而，對於外延的或者偶然的命題，可能性，真，和必然性保留得很清晰。
（C.I.劉易斯《符號邏輯》英文版第501頁）

C.I.劉易斯對模態命題的這種劃分，似乎就包含了疊置模態的可能。依據經典邏輯的替換法則，任意模態命題可以用前後一致的任意命題來替換，劉易斯給出的這兩行表示式，自然也可以經過替換後成為以上符號串的等價命題。

◇(◇(pm))=◇(pm)=∼◇∼(◇（pm))，(以◇(pm)替換(pm))
◇(∼◇(pm))= ∼◇(pm)=∼◇◇(pm))，（以◇(pm)替換(pm））

從這個意義上講，疊置模態是模態合式公式形成規則的自然體現。它們在自然語言上的意義，因為模態語言本身的特性，而顯得不是那麼特別值得推敲了。
C.I.劉易斯構建嚴格蘊涵系統的最初意圖，也許是為邏輯推理提供不同於經典邏輯的另一種途徑。但系統建構到S5這個關口，似乎偏移了C.I.劉易斯的本意，讓他自己也困惑起來。所以，他在《符號邏輯》附錄的最後一段文字中，也是全書的最後一段，生髮了一段感嘆。我感覺這既是劉易斯的學問之嘆，也是他的人生之嘆。
本來想通向一條邏輯推理之路，沒想到，嚴格蘊涵系統所關注的推演法則，究竟是不是可接受的推演法則？依然還是一個疑惑。

在邏輯推理上那些流行的好方法——例如在數學演繹推理中的實踐，並不是充分地精確，也沒有自我意識到：在給定的這五個系統S1-S5中，哪一個表達了可接受的推演法則。（這裡的可接受含義在第八章中有討論）主要涉及到蘊涵關係本質的這些議題，（這裡的蘊涵關係是指，依賴於推理的那些關係）也涉及到某些有關必然、可能或者自我一致意義的微妙問題——例如公設C10是真還是假（貝克教授對這類問題做過詳細地討論，在以上提及的那些論文中）。那些有興趣於符號邏輯這類系統的數學性質的讀者，也許寧願要更具全面性但更少“嚴格性“的系統，例如S5和實質蘊涵。邏輯研究的興趣將很可能通過一個精確的，恰好對立的傾向，來提供最好的服務。
（C.I.劉易斯《符號邏輯》英文版第501-502頁）

也許，C.I.劉易斯所講的這個對立但更精確的傾向，就是模態的關係語義學傾向。

三、劉易斯的S1-S5系統導引了蘊涵觀念研究的兩個方向：語義學與相干理論
S4-S5的出現，正規模態開始有了基於經典邏輯的模態語義學，這就是成熟於上世紀50年代的克里普克語義學，或稱可能世界語義學。我相信康巨集逵先生的感覺，模態邏輯關係語義學的早期形態冠以克里普克語義學並不公正，但這個稱號的語義學依然有足夠的生命力（參見杜姍姍等著《臨界的傳遞邏輯》第8頁）。
S4因其特徵公理而被稱之為傳遞邏輯，這個公理表達的就是可能世界間的傳遞關係。本篇討論的S5，其特徵公理為C11，這個C11表徵的是個什麼關係呢？S5特徵公理對應的是歐性關係。
S4特徵公理對應的傳遞性比較好理解，算術中的數字相等，這個等號就有傳遞性。算術中的大於、小於關係，也有傳遞性。傳統邏輯三段論，有一個關於類與類關係的曲全公理，其實表達的就是傳遞性。
S5特徵公理所對應的關係，就不像S4那麼普通了，這個特徵公理對應的關係稱作歐性關係，全稱應該是歐幾里德關係（Euclid relation）。
S5的C11也是模態疊置，模態疊置雖是模態句法規則的自然體現，也沒有什麼自然語言理解的符號直觀，但模態關係語義學為解決這模態疊置之惑，打造了一把好鎖匙。這把鎖匙就是模態的對應理論，如範本特姆所言：

三大理論支撐著模態邏輯大廈，其中有遍佈各處的完全性理論，還有當前的對應理論。
（轉引自拙著《必然蘊涵世界和關係》第196頁）

這個對應理論的中心思想，就是把一個模態公式的意義，歸結為使該公式有效的那些框架中的關係所具有的特殊性質。而關係語義學的第一個關鍵概念，那就是框架（Frame）。
一個框架由兩個型別構成，一個型別是可能世界（或者點，或者狀態等），常用大寫字母W表示，另一個型別就是關係，用R表示。框架的符號表達式如下：
F=(W,R)

除了框架之外，另一個關係語義學的關鍵概念是可通達（accessible）。以框架F為例，其中的W是無數單個世界的整合，R是無數單個關係的整合。
有了這個框架F概念，關係R，就體現在W上的任意兩個點之間是如何可通達的。
歐性關係由此而被定義為：
若W上面有三個世界w，u，和v。從w可以通達u，這表示為wRu。也可以從w通達v，這表示為wRv，而且，還可以從v通達u。
滿足這三個條件的關係，就是歐性關係。關係語義學已經發展成為可以使用圖形來加以描述的學科，因此，這樣一種關係也可以用有向的線條來表達：
歐性關係表示圖

依據C.E.Hughes的記載，把歐性關係的特徵公理記為E公理，首次出現於Lemmon和Scott1977年的著作《Lemmon 筆記：模態邏輯導論》一書中，這個公理對應於一個條件，這個條件，作者稱其為歐性條件（euclidian condition）。這時，離C.I.劉易斯的S5，已經近半個世紀了。
S5出現之後的半個世紀，除了以上提到的關係語義學，還有代數語義學，拓撲語義學等等，模態邏輯還有很多故事可講。但C.I.劉易斯的S5，只能暫且到此了。本篇的最後一點文字，留給C.I.劉易斯嚴格蘊涵研究導致的另一個方向。這個方向，是關注蘊涵中的可以推出關係而導致的。C.I.劉易斯一直都希望，把他的嚴格蘊涵p==>q解釋為命題q可以邏輯地從p推出，或者解釋為從p推演為q，是邏輯上有效的。
這個“從p邏輯地推出q”的基本含義，其實就是C.I.劉易斯之前的英國哲學家摩爾Moore給出的“衍推”概念（entailment）所包含的意義。沿著這個方向的研究，形成的一類邏輯，後來稱為“相干邏輯”（relevance logic）。這個邏輯經過幾十年的研究，也同樣有著巨大豐富的資料文獻。
有趣的是，我的兩個學生，一個學生做的是劉易斯的嚴格蘊涵系統，那自然是劉易斯的東西。另一個學生做的卻是“相干邏輯”，那時候，我一點都不知道，這相干邏輯也和劉易斯的嚴格蘊涵相關，而且在很大程度上應該是當代相干邏輯研究的一個源頭。
個人對於自己生命程序的回憶，自然要包括物質生活和精神生活。這精神生活的一個要點，就是對於自己學術程序的反思。這個反思還真是有趣，你會填補一些你原來未知的，你也會發現，你原來有很多很多的無知。