技術標籤：好好學習

前幾天比賽的時候遇見一道擴充套件歐幾里德的題沒寫出來，於是後來就去把擴充套件歐幾里德學了一下。參考部落格是這個：點我
歐幾里德定理：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，這是用來求最大公約數束的。用遞迴來寫程式碼是：

int gcd(int a,int b){
	if(b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}

那麼擴充套件歐幾里德就是用ax+by=gcd(a,b)來求解x和y。這個應用也可以再推衍成ax+by=c→ax+by=cgcd(a,b)/gcd(a,b)→ax/(c/gcd(a,b))+by/(c/gcd(a,b))=gcd(a,b)，那麼最後求出來的解x就等於x0

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){ //歐幾里德
        x=1;
        y=0;
        return a; //此時的a就是最大公約數gcd
    }
    int gcd=ex_gcd(b,a%b,x,y); //求出這個gcd用於求a*x+b*y=c的通解
    int temp=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return
 
 gcd; //返回gcd
}

然後我們根據這個函式求出了ax+by=gcd(a,b)時候的通解之後，就要根據一開始的式子求ax+by=c的通解：x=xc/gcd,y=yc/gcd；這個時候我們就求出這個二元一次方程的通解了。
注意，這裡只是通解，或者說，這裡的x,和y只是這個方程的一組解，如果題目要求我們求出最小解的話我們還得繼續推：
求最小解肯定是希望形式變成：
a*(x-k)+b*(y-l)=c→ax-ak+by-bl=c;
然後我們令k=bd,l=ad,就得到ax-abd+by-bad=c→a*(x-bd)+b(x-ad)=c;這個時候式子就等於一開始的式子ax+by=c；現在我們要求這個d：
因為通解應該是整數，所以bd和ad也應該是整數，而且我們要求的是x和y的最小解，bd和ad越小，求出的最小解x和y才越接近原點，所以此時的d=1/gcd,就是a和b的最小公約數的倒數。
我們前面求出的通解x和y有可能大於0也有可能小於0，如果大於0，直接讓x-bd減到最接近原點也就是再減一個bd就小於0為止，那就是直接用x對b*d取模，求y也同理：x=x%(b/gcd),y=y%(a/gcd);
否則，就在x=x%(b/gcd),y=y%(a/gcd)的基礎上再加一個b/gcd和a/gcd，因為負數的時候我們取模也是求出在負半軸上最接近原點的數，只需要再加上一個被取模的數就能變成最小正解了：x=x%(b/gcd)+b/gcd,y=y%(a/gcd)+a/gcd

然後是例題青蛙的約會，這是原題地址
Description

兩隻青蛙在網上相識了，它們聊得很開心，於是覺得很有必要見一面。它們很高興地發現它們住在同一條緯度線上，於是它們約定各自朝西跳，直到碰面為止。可是它們出發之前忘記了一件很重要的事情，既沒有問清楚對方的特徵，也沒有約定見面的具體位置。不過青蛙們都是很樂觀的，它們覺得只要一直朝著某個方向跳下去，總能碰到對方的。但是除非這兩隻青蛙在同一時間跳到同一點上，不然是永遠都不可能碰面的。為了幫助這兩隻樂觀的青蛙，你被要求寫一個程式來判斷這兩隻青蛙是否能夠碰面，會在什麼時候碰面。
我們把這兩隻青蛙分別叫做青蛙A和青蛙B，並且規定緯度線上東經0度處為原點，由東往西為正方向，單位長度1米，這樣我們就得到了一條首尾相接的數軸。設青蛙A的出發點座標是x，青蛙B的出發點座標是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，兩隻青蛙跳一次所花費的時間相同。緯度線總長L米。現在要你求出它們跳了幾次以後才會碰面。
Input

輸入只包括一行5個整數x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output

輸出碰面所需要的跳躍次數，如果永遠不可能碰面則輸出一行"Impossible"
Sample Input

1 2 3 4 5
Sample Output

4

這道題是典型的擴充套件歐幾里德，讓我們求二元一次方程的最小解，設跳的次數為d，跳了k圈，列出式子：x+md-y+nd=k*l→(m-n)d-kl=y-x;
然後根據剛剛講的擴充套件歐幾里德就可以做了

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<bits/c++io.h>
using namespace std;

long long ex_gcd(long long a,long long b,long long &d,long long &k){
    if(b==0){
        d=1;
        k=0;
        return a;
    }
    long long ans=ex_gcd(b,a%b,d,k);
    long long temp=d;
    d=k;
    k=temp-(a/b)*k;
  //  printf("k=%lld d=%lld ans=%lld\n",k,d,ans);
    return ans;
}

int main(int argc,char const*argv[]){
    long long x,y,m,n,l;
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
    long long a=m-n,b=l,c=y-x;
    long long d,k;
    if(m==n&&x!=y) printf("Impossible");
    else{
        if(a<0){
        a=-a;
        c=-c;
        }
        long long ans=ex_gcd(a,b,d,k);
        if(c%ans==0){
            d=d*c/ans;
            if(d>0){
                d=d%(b/ans);
            }
            else{
                d=d%(b/ans)+b/ans;
            }
            printf("%lld",d);
        }
        else printf("Impossible");
    }
    return 0;
}