堆排序與選擇排序的關聯

一、簡單選擇排序

• 基本思想：假設排序表為 L[1....n] ，第i趟排序即從L[i,,,,n] 中選擇關鍵字最小的元素與 L(i) 交換，每一趟排序可以確定一個元素的最終位置，這樣經過 n-1 趟排序就可以使整個排序表有序。

• 選擇排序的執行過程為每次迴圈遍歷陣列找出最小（或最大）的數，將其放在陣列的有序數列的最後面，每次第i次遍歷查詢要執行N-i個單位時間，然後要執行N次，故時間複雜度為O（N^2），很簡單，比較適合較小的數列的排序。

程式碼如下:

public static void changeSort(int [] arr) {
    for (int i = 0; i < arr.length-1; i++) {
        int index = i;
        for (int j = i+1; j < arr.length; j++) {
            if(arr[j] < arr[index]){
                index = j;
            }
        }
        //比完在交換，遊標不穩定，故穩定性不穩定
        int temp = arr[index];
        arr[index] = arr[i];
        arr[i] = temp;
    }
}

 

二、堆排序

• 而堆排序是對於選擇排序的優化排序，它利用率了最大（最小）堆頂的數最大（最小）的性質，使得找到一個數組找到最大（最小）的元素的操作不需要像選擇排序一樣消耗N-i的時間。其時間複雜度為O（nlogn）與歸併排序一樣啊，空間複雜度為O（1）。

• 在介紹堆排序的執行過程前，先要了解幾個公式：

  • 對於一個根節點 i，其左子樹為 2*i+1，其右子樹為 2*i+2 ，而最後一個有子樹的根節點 a 的位置小於等於 N/2，N是待排序陣列的長度。

其執行過程如下：

1.先建立最大（最小）堆（build_heap）

1.1 將陣列匯入一顆完全二叉樹；

1.2 從倒數第一個有子樹的根節點開始建立堆（heapify）（操作就是通過比較和變換使得根節點的大小大於（小於）子樹的大小。），然後對前面一個根節點做同樣的迴圈操作，直到堆頂也操作結束，則完成建立整個堆。

在heapify的過程中，我們要在改變了一個子樹跟根節點位置後，再向下調整其子樹的子樹和其子樹的位置，直至最後一個子樹。

程式碼如下:

package com.m.suan_pai;

import java.util.Arrays;

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        int arr[] = new int[]{1, 0, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 7, 8, 9};
        dumpSort(arr);
    }

    public static void dumpSort(int[] arr) {
        //測試，理解程式碼
//        int i = arr.length / 2 - 1;
//        adjust(arr, i, arr.length);
//        System.out.println(Arrays.toString(arr));
//        i--;
//        adjust(arr, i, arr.length);
//        System.out.println(Arrays.toString(arr));
//        i--;
//        adjust(arr, i, arr.length);
//        System.out.println(Arrays.toString(arr));

//        尋找最後一個非葉子節點為初始值
        for (int i = arr.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
            //調整大頂堆
            adjust(arr, i, arr.length);
        }

        //交換堆首與堆尾
        for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--) {
            swap(arr, 0, i);
            adjust(arr, 0, i);
        }

        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
	
    //調整大頂堆
    public static void adjust(int[] arr, int i, int length) {
        int temp = arr[i];
        for (int k = 2 * i + 1; k < length; k = k * 2 + 1) {
            if (k + 1 < length && arr[k] < arr[k + 1]) {
                k++;
            }
            if (arr[k] > temp) {
                arr[i] = arr[k];
                i = k;
            } else {
                break;
            }
        }
        arr[i] = temp;
    }
	//交換
    public static void swap(int[] arr, int a, int b) {
        int t = arr[a];
        arr[a] = arr[b];
        arr[b] = t;
    }


}

 

堆排序時間複雜度：O(nlogn)
堆排序對原始記錄的排序狀態並不敏感，其在效能上要遠遠好過於冒泡、簡單選擇、直接插入排序。