• 前言

  如何評價 Rainy7 白給 6 分。

  好丟人啊嗚嗚嗚。

  主要參考：link。

  注：由於Rainy7太菜，部分觀點全靠口胡/胡扯/跳過。如果出現解釋/知識錯誤，歡迎指出。

• 選擇題

1.請選出以下最大的數

A.\((556)_{10}\)

B.\((777)_8\)

C.\(2^{10}\)

D.\((22F)_{16}\)

\((777)_8=551\)

\(2^{10}=1024\)

\((22F)_{16}=559\)

故選 C 。

2.作業系統的功能是()

A.負責外設與主機之間的資訊交換

B.控制和管理計算杋系統的各種硬體和軟體資源的使用

C.負責診斷機器的故障

D.將源程式編譯成目標程式

作業系統(Operating System，簡稱OS)是管理計算機硬體與軟體資源的計算機程式。作業系統需要處理如管理與配置記憶體、決定系統資源供需的優先次序、控制輸入裝置與輸出裝置、操作網路與管理檔案系統等基本事務。作業系統也提供一個讓使用者與系統互動的操作介面。 ——百度百科

概念性知識點。選 B 。

3.現有一段 \(8\) 分鐘的視訊檔案,它的播放速度是每杪 \(24\) 幀影象,每幀影象是幅解析度為 \(2048 \times 1024\) 畫素的 \(32\) 位真彩色影象。請問要儲存這段原始無壓縮視訊,需要多大的儲存空間?

A. 30G B. 90G C.150G D.450G

一幀的空間為 \(2048 \times 1024 \times 32\) bit 。

所以整個檔案為總幀數的空間。

故選 B 。

今有一空棧S,對下列待進棧的資料元素序列a,b,c,d,e,f依次進行：進棧，進棧，出棧，進棧，進棧，出棧的操作，則此操作完成後，棧底元素為

A.b B.a C.d D.c

棧內元素依次為 \(a \to a,b \to a \to a,c \to a,c,d \to a,c\) 。

選 B 。

5.將(2,7,10,18)分別儲存到某個地址區間為0~10的雜湊表中,如果雜湊函式h(x)=(),將不會產生衝突,其中 \(a \mod b\)

表示 a 除以 b 的餘數。

A. \(x^2 \mod 11\)

B. \(2x \mod 11\)

C. \(x \mod 11\)

D.\(\left\lfloor\dfrac{x}{2}\right\rfloor \mod 11\) ,其中 \(\left\lfloor\dfrac{x}{2}\right\rfloor\) 表示下取整

A 中各個數為 \(4,5,1,5\)

B 中各個數為 \(4,3,9,3\)

C 中各個數為 \(2,7,10,7\)

D 中各個數為 \(1,3,5,9\)

故選 D 。

6.下列哪些問題不能用貪心法精確求解?()

A. 霍夫曼編碼

B. 0-1揹包問題

C. 最小生成樹

D. 單源最短路問題

A 為貪心。 C 的 prim 和 kruskal 為貪心。 D 的 dijsktra 為貪心。

故選 B 。

7.具有η個頂點,e條邊的圖採用鄰接表儲存結構,進行深度優先遍歷運算的時間複雜度為()。

A. \(O(n+e)\) B.\(O(n^2)\) C.\(O(e^2)\) D.\(O(n)\)

每個點，跑所連的每一個邊。一次。

故選 A。

8.二分圖是指能將頂點劃分成兩個部分,每一部分內的頂點間沒有邊相連的簡單無向圖。那麼,24個頂點的二分圖至多有()條邊

A.144 B.19 C.48 D.122

考慮最大情況，兩邊個數都為 \(12\) 。

答案即 \(12^2=144\) 。

故選 A 。

9.廣度優先搜尋時,一定需要用到的資料結構是()

A.棧

B.二叉樹

C.佇列

D.雜湊表

選 C 。

10.一個班學生分組做遊戲,如果每組三人就多兩人,每組五人就多三人,每組七人就多四人,問這個班的學生人數n在以下哪個區間?已知n<60。

A.30<n<40

B.40<n<50

C.50<n<60

D.20<n<30

通過暴力，可得當 \(n=53\) 的時候滿足。

故選 C 。

11.小眀想通過走樓梯來鍛鍊身體,假設從第 \(1\) 層走到第 \(2\) 層消耗 \(10\) 卡熱量,接著從第 \(2\) 層走到第 \(3\) 層消耗 \(20\) 卡熱量,再從第 \(3\) 層走到第 \(4\) 層消耗 \(30\) 卡熱量,依此類推,從第 \(k\) 層走到第 \(k+1\) 層消耗 \(10k\) 卡熱量 \((k>1)\) 。如果小明想從 \(1\) 層開始,通過連續向上爬樓梯消耗 \(1000\) 卡熱量,至少要爬到第幾層樓?

A.14 B.16 C.15 D.13

設爬到 \(x\) 層。

故選 C 。

12.表示式a*(b+c)-d的字尾表達形式為()

A. abc*+d-

B. -+*abcd

C. abcd*+-

D. abc+*d-

各種方法都可以做出來，選 D 。

13. 從一個4×4的棋盤中選取不在同一行也不在同一列上的兩個方格,共有()種方法。

A.68 B.72 C.86 D.64

\(16 \times 9 \times \frac{1}{2}=72\)

故選 B 。

14.對一個n個頂點、m條邊的帶權有向簡單圖用 Dijkstra演算法計算單源最短路時,如果不使用堆或其它優先佇列進行優化,則其時間複雜度為

A. \(O((m+n^2) \log n)\)

B. \(O(mn+n^3)\)

C. \(O((m+n) \log n)\)

D. \(0(n^2)\)

沒優化的 dijkstra ，每次列舉找 \(n\) 個點，列舉 \(n\) 次。

故選 D。

15.1948年,()將熱力學中的熵引入資訊通訊領域,標誌著資訊理論研究的開端。

A.尤拉( Leonhard Euler)

B.馮·諾伊曼(John von Neumann)

C.克勞德·夏農(Claude shannon)

D.圖靈(Alan turing）

克勞德·艾爾伍德·夏農（Claude Elwood Shannon ，1916年4月30日—2001年2月24日）是美國數學家、資訊理論的創始人。1936年獲得密歇根大學學士學位 [1] 。1940年在麻省理工學院獲得碩士和博士學位，1941年進入貝爾實驗室工作。夏農提出了資訊熵的概念，為資訊理論和數字通訊奠定了基礎。 ——百度百科

故選 C 。

• 閱讀程式

所有程式題，包括完善程式，的程式會在網路上有可以複製版的時候搬過來。

手寫一遍？不可能（（

(1)

1.n必須小於1000,否則程式可能會發生執行錯誤。()

程式碼下標從 \(0\) 開始存，若 \(n=1000\) ，程式不會執行錯誤。

故判錯。

2. 輸出一定大於等於0。()

看上去 ans 一定會大於等於 0 。

但是 ans 初始為 \(-1\) 。

當所有 \(d[i]\) 相等時，ans 不會改變。

故判錯。

3. 若將第13行的j=0改為j=i+1,程式輸出可能會改變。()

若程式為嚴格單調遞減，輸出變為 \(-1\) 實際是有解的。

故判對。

4. 將第14行的d[i]<d[j]改為d[i]!=d[j],程式輸出不會改變。()

改完後， \(d[i]>d[j]\) 的情況也會執行。但是對結果沒影響。

5)若輸入n為100,且輸出為127,則輸入的d[i]中不可能有()

A. 127 B.126 C.128 D.125

如果有比 \(127\) 大的，結果也一定比 127 大。

所以選 C 。

6)若輸出的數大於,則下面說法正確的是()

A.若輸出為偶數,則輸入的d[i]中最多有兩個偶數。

B.若輸出為奇數,則輸入的d[i]中至少有兩個奇數。

C.若輸出為偶數,則輸入的d[i]中至少有兩個偶數。

D.若輸出為奇數,則輸入的d[i]中最多有兩個奇數。

用奇偶性判斷。

首先 A 和 D 明顯不對（……） 。

如果兩個數為偶數，與完還是偶數。

如果兩個數一奇一偶，與完是偶數。

如果兩個數為奇數，與完還是奇數。

所以若結果為奇數，偶+奇+（偶&奇）=奇 ，也就是說 B 不對。

看 C ，偶+偶+（偶&偶）=偶，奇+奇+（奇&奇）=奇。

故選 C 。

(2)

假設輸入的n,k和都是不超過100的正整數,且k不超過n,並假設rand()函式產生的是均勻的隨機數,完成下面的判斷題和單選題:

1. 第9行的x的數值範圍是L+1到R,即[L+1,R]。()

如果正好隨機到倍數，是可以取到 L 的。

故判錯。

2. 將第19行的d[a]改為d[b],程式不會發生執行錯誤。()

可以發現，無論如何 \(a\) 都不會越界。

故判對。

3.(2.5分)當輸入的d[i]是嚴格單調遞增序列時,第17行的swap平均執行次數是()。

A.\(O(n \log n)\)

B.\(O(n)\)

C.\(O( \log n)\)

D.\(O(n^2)\)

官方：答案為 \(O(( \log n)^2)\) ,無正確選項,因此無論選擇哪個選項都算對。

但是這個結果是怎麼算的呢（……）

4.(2.5分)當輸入的d[i]是嚴格單調遞減序列時,第17行的“swap”平均執行次數是()

A. \(O(n^2)\)

B. \(O(n)\)

C. \(O(n \log n)\)

D. \(O( \log n)\)

（戰術胡扯）

大概隨機選一個，隨機選完兩邊的數都要兩兩交換，均等一下就是 \(O(n)\) 。（??我在叭叭什麼）

5.(2.5分)若輸入的 \(d[i]\) 為 \(i\) ,此程式①平均的時間複雜度和②最壞情況下的時間複雜度分別是

A. \(O(n),O(n^2)\)

B. \(O(n),(n \log n)\)

C. \(O(n \log n),O(n^2)\)

D. \(O(n \log n),O(n \log n)\)

平均複雜度 \(O(n)\) 。（大腦胡扯ing）

最壞情況即下題。

故選 A 。

6)(2.5分)若輸入的d[i]都為同一個數,此程式平均的時間複雜度是

A. \(O(n)\)

B. \(O( \log n)\)

C. $O(n \log n) $

D. \(O(n^2)\)

隨機了個寂寞。

每次 \(a\) 不變，\(b\) 要從 \(R\) 跑到 \(L\) 。然後在跑子程式。

所以結果為 \(O(n^2)\) 。

故選 D 。

(3)

這個程式手寫了一些資料結構。

每次操作旋轉一段字串([0,m]或[m,n])。問幾次 \(st0\) 可以和 \(st1\) 相等。

用的是雙向搜尋。

1.輸出可能為0。()

若 \(st0=st1\) 會被程式特判為 \(0\) 。

故判對。

2.若輸入的兩個字串長度均為101時,則m=0時的輸出與m=100時的輸出是一樣的()

一個像左，一個像右，故不一樣。

3.若兩個字串的長度均為n,則最壞情況下,此程式的時間複雜度為0(n!)。()

最劣複雜度應該為 \(O((n!)^2 ·n)\) 。

4.(2.5分)若輸入的第一個字串長度由100個不同的字元構成,第個字串是第一個字串的倒序,輸入的m為0,則輸出為()

A.49 B.50 C.100 D.-1

手玩可得，不可能，故選 D 。

5)(4分)已知當輸入為0123\n32\n1時輸出為4,當輸入為812345\n54321\n1時輸出為14,當輸入為61234567\n76543210\n1時輸出為28,則當輸入為0123456789\n9876543210\n1輸出為()。其中\n為換行符。

A.56 B.84 C.102 D.68

RP game（霧

以下直接摘自前言的link。

容易構造一個比較劣的耗費 \(\mathcal{O}(n^2)\) 步的操作序列，於是可以猜想當 \(n\) 足夠大時答案為關於 \(n\) 的二次多項式，用給出的三個值進行插值即可得到答案為 \(68\) 。

故選 D 。

6. (4分)若兩個字串的長度均為 \(n\) ,且 \(0<m<n-1\) ,且兩個字串的構成相同(即任何一個字元在兩個字串中出現的次數均相同),則下列說法正確的是()。提示:考慮輸入與輸出有多少對字元前後順序不樣

A.若n、m均為奇數,則輸出可能小於0。

B.若n、m均為偶數,則輸出可能小於0。

C.若n為奇數、m為偶數,則輸出可能小於0。

D.若n為偶數、m為奇數,則輸出可能小於0。

小於 \(0\) 就是無解。

C中，湊偶數，就有可能無法湊成奇數。

故選 C 。

• 完善程式、

1.(分數揹包)小S有 \(n\) 塊蛋糕,編號從 \(1\) 到 \(n\) 。第 \(i\) 塊蛋糕的價值是 \(w\) 體積是 \(v\) 。他有一個大小為 \(B\) 的盒子來裝這些蛋糕,也就是說裝入盒子的蛋糕的體積總和不能超過 \(B\) 。

他打算選擇一些蛋糕裝入盒子,他希望盒子裡裝的蛋糕的價值之和儘量大。為了使盒子裡的蛋糕價值之和更大,他可以任意切割蛋糕。具體來說,他可以選擇一個 $ \alpha (0< \alpha <1) $,並將一塊價值是 \(w\) ,體積為 \(ⅴ\) 的蛋糕切割成兩塊,其中一塊的價值是 \(\alpha·w\) ,體積是 $ \alpha·v$ ,另一塊的價值是 \((1-\alpha)·w\) ,體積是 \((1-\alpha)·ⅴ\) 。

他可以重複無限次切割操作現要求程式設計輸岀最大可能的價值,以分數的形式輸出比如 \(n=3,B=8\) 三塊蛋糕的價值分別是4、4、2,體積分別是5、3、2。那麼最優的方案就是將體積為5的蛋糕切成兩份,一份體積是3,價值是4,另一份體積是2,價值是1.6,然後把體積是3的那部分和後兩塊蛋糕打包進盒子。最優的價值之和是 \(8.4\) ,故程式輸出 \(42/5\)

輸入的資料範圍為: \(1 \le n \le 1000,1 \le B \le 10^5;1 \le \frac{w_i}{v_i} \le 100\) 。提示:將所有的蛋糕按照價效比w/v從大到小排序後進行貪心選擇。試補全程式。

程式碼：咕咕咕

1.①處應填().

A. w[j]/v[j] < w[j+1] /v[j+1]

B. w[j]/v[j] > w[j+1] /v[j+1]

C. v[j] * w[j+1] < v[j+1] * w[j]

D. w[j] * v[j+1] < w[j+1] * v[j]

按照提示所說的排序。

但是因為不是 double ，所以要轉換為乘法。

故選 D 。

2.②中應填()

A. w[1]<=B

B. v[1]<=B

C. w[1]>=B

D. v[1]>=B

看 else 反推，else 直接 return 0 +輸出。說明是v[1]>B 的情況。故選 B 。

3.③中應填()

A. print(v[1],w[1]);return 0;

B. curV=0;curW=0;

C. print(w[1],v[1]);return 0;

D. curV=v[1];curW=w[1];

A 和 C 在幹啥……

注意到下面 for 從 2 開始，故選 D。

4.④中應填()

A. curW * v[i]+curV[i] * w[i],v[i]

B. (curW-w[i])*v[i]+(B-curV)*w[i],v[i]

C. curW+v[i],w[i]

D. w[i]*v[i]+(B-curV)*w[i],v[i]

首先，排除 B 和 C 。

(B-curV) 的目的是求這塊蛋糕切成幾分之幾。

w[i]*v[i] 是使這部分分子分母一起擴大防止變小。

(curW-w[i]) 意義不明（……？）

故選 D 。

5.⑤中應填()

A. curW,curV

B. curW,1

C. curV,curW

D. curV,1

注意到此時沒有任何蛋糕被切掉。

所以分母為 \(1\) 。

故選 B 。

2.(最優子序列)取 \(m=16\) ,給出長度為 \(n\) 的整數序列 \(a_1,a_2,...,a_n(0 \le a_i < 2^m)\) 。對於一個二進位制數 \(x\) ,定義其分值 \(w(x)\) 為 \(x+ popcnt(x)\) ,其中$ popcnt(x)$ 表示 \(x\) 二進位制表示中 \(1\) 的個數。對於一個子序列 \(b_1,b_2,...,b_k,\) 定義其子序列分值 \(S\) 為 \(w(b1 \oplus b2)+w(b2 \oplus b3)+W(b3 \oplus b4)+ ... +w(b_{k-1} \oplus b_k)\) 。其中 \(\oplus\) 表示按位異或。對於空子序列,規定其子序列分值為0。

求一個子序列使得其子序列分值最大,輸出這個最大值。

輸入第一行包含一個整數 \(n(1 \le n \le 40000)\)。接下來一行包含 \(n\) 個整數 \(a_1,a_2,...,a_n\) 。

提示:考慮優化樸素的動態規劃演算法,將前位和後位分開計算 \(Max[x][y]\) 表示當前的子序列下一個位置的高 \(8\)位是\(x\)、最後一個位置的低 \(8\) 位是 \(y\) 時的最大價值。

程式碼：咕咕咕

1.①處應填().

A. x>>=1

B. x^=x&(x^(x+1))

C. x-=x|-x

D. x^=x&(x^(x-1))

很 lowbit 。

可以手動嘗試（（，選 D 。

2.②中應填()

A. (a&MS)<<B

B. a>>B

C. a&(1<<B)

D. a&(Ms<<B)

第二題，根據題目中 \(x\) 的定義。

那麼 x 為 a 的 B 位的數。

故選 B 。

3.③中應填()

A. -INF

B. Max[y][x]

C. 0

D. Max[x][y]

此時 Max 並未賦值。排除 B 和 D 。

空串的值為 \(0\) 。

故選 C 。

4.④中應填()

A. Max[x][z]+w(y^z)

B. Max[x][z]+w(a^z)

C. Max[x][z]+w(x^(z<<B))

D. Max[x][z]+w(x^z)

根據 \(Max[x][z]\) 可得，這次是在變換 \(y\) 。

而 y^z 就是補充剩下的 \(1\) 的貢獻。

故選 A 。

5.⑤中應填()

A. to_max(Max[y][z],v+w(a^(z<<B)))

B. to_max(Max[z][y],v+w((x^z)<<B)

C. to_max(Max[z][y],v+w(a^(z<<B)))

D. to_max(Max[x][z],v+w(y^z))

易得，這次是固定 \(y\) ，變換 \(x\) 。

故排除 A 和 D 。

變換 \(x\) 的值也時時更新。

故選 B 。