推薦系統( ( Recommender Systems) )

問題形式化Problem Formulation

從一個例子開始定義推薦系統的問題。假使我們是一個電影供應商，我們有 5 部電影和 4 個使用者，我們要求使用者為電影打分。

前三部電影是愛情片，後兩部則是動作片，我們可以看出 Alice 和 Bob 似乎更傾向與愛
情片， 而 Carol 和 Dave 似乎更傾向與動作片。並且沒有一個使用者給所有的電影都打過分。
我們希望構建一個演算法來預測他們每個人可能會給他們沒看過的電影打多少分，並以此作為
推薦的依據。

下面引入一些標記：

• n u 代表使用者的數量
• n m 代表電影的數量
• r(i,j)如果使用者 j 給電影 i 評過分則 r(i,j)=1
• y (i,j) 代表使用者 j 給電影 i 的評分
• m j 代表使用者 j 評過分的電影的總數

基於內容的推薦系統Content Based Recommendations

在一個基於內容的推薦系統演算法中，我們假設對於我們希望推薦的東西有一些資料，這
些資料是有關這些東西的特徵。

在我們的例子中，我們可以假設每部電影都有兩個特徵，如 x 1 代表電影的浪漫程度，x 2
代表電影的動作程度。

則每部電影都有一個特徵向量，如 x (1) 是第一部電影的特徵向量為[0.9 0]。

下面我們要基於這些特徵來構建一個推薦系統演算法。 假設我們採用線性迴歸模型，我
們可以針對每一個使用者都訓練一個線性迴歸模型，如 θ (1) 是第一個使用者的模型的引數。 於

是，我們有：

• θ (j) 使用者 j 的引數向量
• x (i) 電影 i 的特徵向量
• 對於使用者 j 和電影 i，我們預測評分為：(θ (j) ) T x (i)
• 代價函式
• 針對使用者 j，該線性迴歸模型的代價為預測誤差的平方和，加上正則化項：

其中 i:r(i,j)表示我們只計算那些使用者 j 評過分的電影。在一般的線性迴歸模型中，誤差
項和正則項應該都是乘以 1/2m，在這裡我們將 m 去掉。並且我們不對方差項 θ 0 進行正則
化處理。

上面的代價函式只是針對一個使用者的，為了學習所有使用者，我們將所有使用者的代價函式
求和：

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片儲存下來直接上傳(img-dsR6Ff2q-1602638639830)(img-blog.szm2019.cn/github/blog/ml/ml-9-2-04.png)]

如果我們要用梯度下降法來求解最優解，我們計算代價函式的偏導數後得到梯度下降的
更新公式為：

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片儲存下來直接上傳(img-IWYBbSVK-1602638639841)(img-blog.szm2019.cn/github/blog/ml/ml-9-2-05.png)]

協同過濾Collaborative Filtering

在之前的基於內容的推薦系統中，對於每一部電影，我們都掌握了可用的特徵，使用這
些特徵訓練出了每一個使用者的引數。相反地，如果我們擁有使用者的引數，我們可以學習得出
電影的特徵。

但是如果我們既沒有使用者的引數，也沒有電影的特徵，這兩種方法都不可行了。協同過
濾演算法可以同時學習這兩者。

我們的優化目標便改為同時針對 x 和 θ 進行。

對代價函式求偏導數的結果如下：

注：在協同過濾從演算法中，我們通常不使用方差項，如果需要的話，演算法會自動學得。
協同過濾演算法使用步驟如下：

1. 初始 x (1) ,x (2) ,…,x (nm) ，θ (1) ,θ (2) ,…,θ (nu) 為一些隨機小值
2. 使用梯度下降演算法最小化代價函式
3. 在訓練完演算法後，我們預測(θ (j) ) T x (i) 為使用者 j 給電影 i 的評分

通過這個學習過程獲得的特徵矩陣包含了有關電影的重要資料，這些資料不總是人能讀
懂的，但是我們可以用這些資料作為給使用者推薦電影的依據。

例如，如果一位使用者正在觀看電影 x (i) ，我們可以尋找另一部電影 x (j) ，依據兩部電影的
特徵向量之間的距離||x (i) -x (j) ||的大小。

協同過濾演算法Collaborative Filtering Algorithm

協同過濾優化目標：

向 量化：低秩矩陣分解Vectorization_ Low Rank Matrix Factorization

講到有關該演算法的向量
化實現，以及說說有關該演算法你可以做的其他事情。
舉例子：

1. 當給出一件產品時，你能否找到與之相關的其它產品。
2. 一位使用者最近看上一件產品，有沒有其它相關的產品，你可以推薦給他。

我將要做的是：實現一種選擇的方法，寫出協同過濾演算法的預測情況。

我們有關於五部電影的資料集，我將要做的是，將這些使用者的電影評分，進行分組並存
到一個矩陣中。

我們有五部電影，以及四位使用者，那麼 這個矩陣 Y 就是一個 5 行 4 列的矩陣，它將這
些電影的使用者評分資料都存在矩陣裡：

推出評分：

找到相關影片：

現在既然你已經對特徵引數向量進行了學習，那麼我們就會有一個很方便的方法來度量
兩部電影之間的相似性。例如說：電影 i 有一個特徵向量 x (i) ，你是否能找到一部不同的電影
j，保證兩部電影的特徵向量之間的距離 x (i) 和 x (j) 很小，那就能很有力地表明電影 i 和電影 j
在某種程度上有相似，至少在某種意義上，某些人喜歡電影 i，或許更有可能也對電影 j 感
興趣。總結一下，當用戶在看某部電影 i 的時候，如果你想找 5 部與電影非常相似的電影，
為了能給使用者推薦 5 部新電影，你需要做的是找出電影 j，在這些不同的電影中與我們要找
的電影 i 的距離最小，這樣你就能給你的使用者推薦幾部不同的電影了。

通過這個方法，希望你能知道，如何進行一個向量化的計算來對所有的使用者和所有的電
影進行評分計算。同時希望你也能掌握，通過學習特徵引數，來找到相關電影和產品的方法。

推行工作上的細節：均值歸一化 Implementational Detail_ Mean Normalization

讓我們來看下面的使用者評分資料：

如果我們新增一個使用者 Eve，並且 Eve 沒有為任何電影評分，那麼我們以什麼為依據
為 Eve 推薦電影呢？

我們首先需要對結果 Y 矩陣進行均值歸一化處理，將每一個使用者對某一部電影的評分
減去所有 使用者對該電影評分的平均值：

然後我們利用這個新的 Y 矩陣來訓練演算法。 如果我們要用新訓練出的演算法來預測評分，
則需要將平均值重新加回去，預測(θ (j) ) T (x (i) )+μ i 對於 Eve，我們的新模型會認為她給每部電影
的評分都是該電影的平均分。
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