文章目錄

• 一、鏈
• 二、反鏈
• 三、鏈與反鏈示例
• 四、鏈與反鏈定理
• 五、鏈與反鏈推論
• 六、鏈與反鏈推論示例
• 七、良序關係

一、鏈

< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A ,

偏序集中一組元素組成集合 B B B , 如果 B B B 集合中的元素兩兩都可比 , 則稱 B B B 集合是該偏序集 < A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 的鏈 ;

符號化表示 : ∀ x ∀ y ( x ∈ B ∧ y ∈ B → x 與 y 可 比 ) \forall x \forall y ( x \in B \land y \in B \to x 與 y 可比 )

鏈的本質是一個集合

∣ B ∣ |B| ∣B∣ 是鏈的長度

二、反鏈

< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A ,

偏序集中一組元素組成集合 B B B , 如果 B B B 集合中的元素兩兩都 不可比 , 則稱 B B B 集合是該偏序集 < A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 的 反鏈 ;

符號化表示 : ∀ x ∀ y ( x ∈ B ∧ y ∈ B ∧ x ≠ y → x 與 y 不 可 比 ) \forall x \forall y ( x \in B \land y \in B \land x\not= y \to x 與 y 不可比 )

反鏈的本質是一個集合

∣ B ∣ |B| ∣B∣ 是反鏈的長度

三、鏈與反鏈示例

參考部落格 : 【集合論】偏序關係 相關題目解析 ( 偏序關係 中的特殊元素 | 繪製哈斯圖 | 鏈 | 反鏈 )

四、鏈與反鏈定理

< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A ,

A A A 集合中最長鏈長度是 n n n , 則有以下結論 :

① A A A 集合中存在極大元 ;

A A

② A A A 集合中存在 n n n 個劃分塊 , 每個劃分塊都是反鏈 ;

將 鏈 中的極大元 , 與該極大元不可比的元素放在一個集合中 , 構成一個劃分塊 ; ( 注意劃分塊中的元素互相不可比 )

在鏈上剩餘的元素中 , 再次選擇一個極大元 , 然後將與該極大元不可比的元素放在一個集合中 , 構成另一個劃分塊 ;

⋮ \vdots ⋮

下面的示例講解了如何劃分 :

上述偏序集中 , 最長的鏈長度是 6 6 6 ;

① 將極大元 g , h g,h g,h , 與該極大元不可比的剩餘元素 k k k 放在一個集合中 ;

A 1 = { g , h , k } A_1 = \{ g , h , k \} A1​={g,h,k}

② 將剩餘元素的極大元 f f f , 與該極大元不可比的剩餘元素 j j j 放在一個集合中 ;

A 2 = { f , j } A_2 = \{ f,j \} A2​={f,j}

③ 將剩餘元素的極大元 e e e , 與該極大元不可比的剩餘元素 i i i 放在一個集合中 ;

A 3 = { e , i } A_3 = \{ e, i \} A3​={e,i}

④ 將剩餘元素的極大元 d d d , 剩餘的元素都與該極大元科比 ;

A 4 = { d } A_4 = \{ d \} A4​={d}

⑤ 將剩餘元素的極大元 c c c , 剩餘的元素都與該極大元科比 ;

A 5 = { c } A_5 = \{ c\} A5​={c}

⑥ 將剩餘元素的極大元 a , b a,b a,b , 沒有剩餘元素了 ;

A 6 = { a , b } A_6 = \{ a,b \} A6​={a,b}

整體的劃分為 : A = { { g , h , k } , { f , j } , { e , i } , { d } , { c } , { a , b } } \mathscr{A} = \{ \{ g , h , k \} ,\{ f,j \} , \{ e, i \} , \{ d \} , \{ c\} , \{ a,b \} \} A={{g,h,k},{f,j},{e,i},{d},{c},{a,b}}

每次都將最長鏈去掉一層 , 最終將最長鏈去除乾淨 , 得到 n n n 個劃分塊 ;

五、鏈與反鏈推論

< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A ,

A A A 集合大小為 m n + 1 mn + 1 mn+1 , ∣ A ∣ = m n + 1 |A| = mn + 1 ∣A∣=mn+1 , 則有以下結論 :

A A A 集合中要麼存在 m + 1 m+1 m+1 的反鏈 , 要麼存在 n + 1 n + 1 n+1 的鏈 ;

使用反證法證明 :

如果既沒有 m + 1 m+1 m+1 的反連 , 又沒有 n + 1 n + 1 n+1 的鏈 ,

假設有長度為 n n n 的鏈 , 長度為 m m m 的反連 ,

A A A 集合最多劃分 n n n 個劃分塊 , 每個劃分塊最多有 m m m 個元素 , 該集合最多有 m n m n mn 個元素 , 與 ∣ A ∣ = m n + 1 |A| = mn + 1 ∣A∣=mn+1 矛盾 ;

六、鏈與反鏈推論示例

上述偏序集中 , 最長的鏈長度是 6 6 6 ;

A = { a , b , c , d , e , f , g , h , k , j , i } A = \{ a,b,c,d,e,f,g,h,k,j,i \} A={a,b,c,d,e,f,g,h,k,j,i} 集合中 , 元素個數是 11 11 11 個 ,

A A A 集合中有

• 長度為 6 6 6 的鏈 , { a , c , d , e , f , g } \{ a, c,d, e,f, g \} {a,c,d,e,f,g} , { b , c , d , e , f , h } \{ b, c,d, e,f, h \} {b,c,d,e,f,h}

• 長度為 3 3 3 的反鏈 , { g , h , k } \{ g,h,k \} {g,h,k} , { a , b , i } \{ a,b,i \} {a,b,i} , { g , h , i } \{ g,h,i \} {g,h,i} , { a , b , k } \{ a,b,k \} {a,b,k}

∣ A ∣ = 11 = 2 × 5 + 1 |A| = 11 = 2 \times 5 + 1 ∣A∣=11=2×5+1

A A A 集合中要麼有長度為 2 + 1 = 3 2 + 1 = 3 2+1=3 的反鏈 , 要麼有長度為 5 + 1 = 6 5 + 1 = 6 5+1=6 的鏈 ; ( 兩個都滿足 )
或

A A A 集合中要麼有長度為 5 + 1 = 6 5 + 1 = 6 5+1=6 的反鏈 , 要麼有長度為 2 + 1 = 3 2 + 1 = 3 2+1=3 的鏈 ; ( 滿足長度為 3 3 3 的鏈 )

A A A 集合上的劃分 :

• A = { { g , h , k } , { f , j } , { e , i } , { d } , { c } , { a , b } } \mathscr{A} = \{ \{ g , h , k \} ,\{ f,j \} , \{ e, i \} , \{ d \} , \{ c\} , \{ a,b \} \} A={{g,h,k},{f,j},{e,i},{d},{c},{a,b}}
• A = { { g , h } , { f } , { e } , { d } , { c , j } , { a , b , i } } \mathscr{A} = \{ \{ g , h \} ,\{ f \} , \{ e \} , \{ d \} , \{ c, j\} , \{ a,b , i \} \} A={{g,h},{f},{e},{d},{c,j},{a,b,i}}

七、良序關係

< A , ≺ > <A, \prec> <A,≺> 是 擬全序集 ,

如果 A A A 集合中的任何非空子集 B B B , 都有最小元 ,

則稱 ≺ \prec ≺ 是集合 A A A 上的良序關係 ,

稱 < A , ≺ > <A, \prec> <A,≺> 為良序集

< N , < > <N, <> <N,<> 是良序集 , N N N 集合中的非空子集有最小元 , 最小就是 0 0 0 ;

< Z , < > <Z, <> <Z,<> 不是良序集 , Z Z Z 集合中的非空子集可能沒有最小元 , 可能是 − ∞ -\infty −∞ ;