Question!

有海量（e.g. 日均千億級別）的訪問日誌流，如何在不要求結果100%精確的前提下，儘量快速地統計出被訪問次數最多的一些域名，以及它們的訪問頻率？

Heavy Hitters（頻繁項）以及它衍生出來的Top-K（前K最高頻項）是大資料和流式計算領域非常經典的問題，並且在海量資料+記憶體有限+線上計算的前提下，傳統的HashMap + Heap-Sort方式幾乎不可行，需要利用更加高效的資料結構和演算法來解決。好在大佬們對Heavy Hitters問題進行了深入的研究，並總結出了很多有效的方案，本文簡要介紹一種主流的類別，即基於計數器（Counter）的方法，包括：

• Misra-Gries演算法
• Lossy Counting演算法
• Space Saving演算法

在下篇文章中（計劃明天寫），會繼續介紹另一類，即基於摘要（Sketch）的方法。

Majority問題

先看一個非常經典的問題。

陣列中有一個數字出現的次數超過陣列長度的一半，請找出這個數字。

思路很簡單：遍歷陣列，如果前後遇到的兩個數不相等，就將這兩個數消去，最終剩下的那個肯定是出現次數超過一半的那個數。具體到操作上，可以設定一個候選值與一個計數器，在遍歷過程中，如果遇到的數與候選值相同則增加計數，不同則減少計數。候選值的計數減為0時，表示它肯定不是所求的結果，選取下一個數作為候選值，直到遍歷完畢。

Misra-Gries演算法

將Majority問題推廣，就會變成：

資料流中一共有m個元素，請找出出現頻率超過m / k的k - 1個元素。

可見，Majority問題就是上述問題k = 2時的特例。套用上面的計數器思路，就是Misra-Gries演算法，該演算法早在1982年就提出了。

如圖所示，維護k - 1個候選值與計數器的集合：

• 如果元素在集合中，將其對應的計數器自增；
• 如果元素不在集合中且集合未滿，就將元素加入集合，計數器設為1；
• 如果元素不在集合中且集合已滿，將集合內所有計數器自減，計數器減為0的元素被移除。

Misra-Gries演算法可以利用O(k)的空間對元素j的出現頻率 f_j 做出如下的估計：

• f_j - (m - m')/k <= f_j <= f_j
  （其中f_j是j的真實出現頻率，m'則是集合中的所有計數器之和）

為什麼會有這樣的結果呢？因為計數器自減只會發生在集合滿時，且觸發計數器自減的那個元素也不會被統計到，所以相當於少統計了(k - 1) + 1 = k個元素。也就是說，計數器自減的操作最多能發生(m - m')/k輪——即f_j與f_j之間的最大差值。由此可以總結出：

• Misra-Gries演算法對元素出現頻率的估計總是偏低的；
• k越大（即計數器的集合越大），頻率的估計誤差越小；
• 最終結果能夠保證沒有假陰性（false negative），即不會漏掉實際頻率高於m / k的元素。但可能會出現假陽性（false positive），即混入實際頻率低於m / k的元素。

Lossy Counting演算法

Lossy Counting演算法在2002年提出，與Misra-Gries演算法的思路不太相同，但也很簡單。其流程如下。

1. 將資料流劃分為固定大小的視窗。

2. 統計每一個視窗中元素的頻率，維護在計數器的集合中。然後將所有計數器的值自減1，將計數器減為0的元素從集合中移除。

3. 重複上述步驟，每次都統計一個視窗中的元素，將頻率值累加到計數器中，並將所有計數器自減1，並將計數器減為0的元素從集合中移除。

在視窗大小為1/ε的情況下，套用Misra-Gries演算法的誤差分析思路，容易得出Lossy Counting演算法對元素出現頻率的估計同樣是偏低的，會出現假陽性，且誤差在εm的範圍內。換句話說，如果我們希望得出頻率超過Fm的所有元素（F是個比例，如20%），那麼我們最終得到的是頻率超過(F - ε)m的結果。原作論文內建議F大約設為ε的10倍。

論文也指出Lossy Counting演算法的空間佔用為O(1/ε · log εm)，可見它是以比Misra-Gries演算法更多的空間作為trade-off換來了更低的誤差。

話說回來，Misra-Gries和Lossy Counting這樣的演算法為什麼具有實用價值呢？根據著名的Zipf's Law思想，元素在資料流中的分佈往往高度傾斜，少數頻繁出現的元素佔據了資料流中的大部分空間（考慮一下“二八定律”）。所以，即使它們是不精準的，但仍然能夠給出大致正確的、有意義的統計結果。

Space Saving演算法

Space Saving演算法在2005年提出，本質上是Misra-Gries和Lossy Counting演算法的折衷，也是目前應用最廣泛的Heavy Hitters演算法之一。它維護k = 1/ε個候選值與計數器的集合，操作流程如下圖所示。

• 如果元素在集合中，將其對應的計數器自增；
• 如果元素不在集合中且集合未滿，就將元素加入集合，計數器設為1；
• 如果元素不在集合中且集合已滿，將集合內計數器值最小的元素移除，將新元素插入到它的位置，並且在原計數值的基礎上自增。（這裡維護計數值最小的元素可以用傳統的堆）

可見，Space Saving演算法構建在Misra-Gries演算法的基礎上，且只有第三種情況的處理方式是不一樣的——借鑑了Lossy Counting的合併思路。除了只需要O(k)的空間之外，這樣操作的好處是，所有計數器的和一定等於資料流的總元素數m（因為不需要做減法，只需要自增），且那些沒有被移除過的元素的計數值是準確的。容易分析得出：

• 集合中最小的計數值min一定不會大於m / k = εm，同時能夠保證找出所有頻率大於εm的元素；
• 元素出現頻率的估計誤差同樣在εm的範圍內，不過會偏高；
• Space Saving演算法也有假陽性的問題，特別是在非頻繁項集中位於流的末尾時。

Space Saving演算法在貼近實際應用的Zipfian資料集上的benchmark如下圖所示，可見與其他演算法相比，無論在準確率方面還是效率方面都幾乎是最優的。

在大資料相關的元件中，筆者所熟知的Space Saving演算法應用有兩處：一是Apache Kylin中的Top-N近似預計算特性；二是ClickHouse函式庫中的anyHeavy()函式，它能夠返回資料集中任意一個頻繁項。特別地，它們使用的都是並行化的Space Saving演算法，能夠顯著提升多執行緒環境下的計算效率。

The End

明天早起搬磚，民那晚安晚安。