樹的重心

定義

樹上一節點，且滿足它的最大子樹的節點數最小。

性質

\(ps.\) 性質網上都有，但是沒有一篇部落格進行了證明。此後的兒子節點指重心與子樹相連的節點。

\(1.\) 刪除重心後所得的所有子樹，節點數不超過原樹的 \(\frac{1}{2}\)，一棵樹最多有 \(2\) 個重心；

證明：這是樹的重心的基本性質，如果重心的一個子樹的節點數大於 \(\frac{1}{2}\) 那麼重心的這個子兒子肯定會比重心更有資格當重心，矛盾。

\(2.\) 樹中所有節點到重心的距離之和最小，如果有兩個重心，那麼他們距離之和相等；

證明：這種情況只有可能是 \(2\) 個重心之間連邊，並且重心 \(1\)

\(3.\) 兩個樹通過一條邊合併，新的重心在原樹 \(2\) 個重心的路徑上；

證明，這個可以用反證法。假設我們取極限情況。一個重心連的最大子樹大小為 \(\frac{n}{2}\)，另一個大小為 \(1\)。因為如果新的重心不在 \(2\) 個重心之間，它也會在最大的子樹的兒子節點。那麼此時這個兒子所連的子樹總大小（除了返祖的子樹）為 \(\frac{n - 1}{2}\) 那麼可以可以簡單容斥一下推出返祖的子樹大小為 \(n + 1 - \frac{n - 1}{2}\)

\(4.\) 樹刪除或新增一個葉子節點，重心最多隻移動一條邊；

證明：這個很簡單，因為一個節點被修改最多隻會改變一個子樹的大小。所以重心最多隻能移動一位。

實現

首先是根據他的定義直接用 \(Dfs\) 實現。

int size[maxn], val[maxn], f[maxn];//size[i] 表示 i 的子樹大小，val[i] 表示 i 節點的權值，f[i] 表示 i 為根節點的最大子樹。
void Dfs(int x, int fa) {
    size[x] = val[x], f[x] = 0;
    Next(i, x) { int v = e[i].to;
        if(v == x) continue;
        Dfs(v, x);
        size[x] += size[v];
        f[x] = max(f[x], size[v]);
    } f[x] = max(f[x], n - size[now]);//要考慮它父節點引出去的
    if(f[x] < f[ans]) ans = x;
}