工程數學基礎（第六講-第十一講）

• MathBase 工程數學基礎（第六講-第十一講）
• • 第六講，內積空間
  • 第七講，正交變換與對稱變換
  • 第八講，矩陣的相似對角化
  • 第九講，Jordan標準型
  • 第十講，過
  • 第十一講，矩陣範數

MathBase 工程數學基礎（第六講-第十一講）

• Author：Dargon
• Note date：2020/10/19
• 學習視訊來源：國防科技大學 MOOC

第六講，內積空間

• 度量矩陣
  將大G矩陣中的各元素用對應序號的內機空間來進行表示，且定義說明 G 是正定矩陣 成為度量矩陣（暫時沒有發現那裡可以用到）

• 向量的正交 和施密特（schmidit）正交化
  兩向量內積 為0 ，進行單位正交化 可以使用固定的公式
  

  單位化 就是一個向量除於自己的模長
  正交化 兩向量相乘為0 （帶入公式進行計算）

• 求標準正交基
  就是將現有的基進行 單位化 正交化 結果就是一組標準正交基

第七講，正交變換與對稱變換

• 正交變換
  看一下定義：
  設T 是歐式空間 V n V^n Vn上的線性變換，若對任意的 α , β ⊂ V n \alpha,\beta \subset V^n α,β⊂Vn 存在
  < T α , T β > = < α , β > <T \alpha, T \beta > =<\alpha,\beta> <Tα,Tβ>=<α,β>
  則T為V^n上的正交變換

一道例題 基本實現 找一個基使得T在這組新的基下面為對角陣

1. 任意找一組基，算出T在基下的一個矩陣
2. 求矩陣特徵值，特徵向量，將特徵向量組成P ，就可以利用P將這個矩陣對角化（代數的基本知識），同時P 也就是這組基向新基的一個過渡矩陣
3. 用原來的基（E1，E2，E3）分別乘以 P裡面的列向量X1，X2，X3可以得到一組新的基，
4. T在這組新的基下面的座標就是可對角化的矩陣。
   
   

• 旋轉變換
  一個關於影象旋轉的粗糙演算法
  

• 映象變換（Householder變換）
  一個向量關於一個平面（或者其他的線或者更多維度的）映象
  可以得到一個變換矩陣 H ( ω ) = I − 2 ω ω T \color{blue}H(\omega) =I -2\omega \omega^T

  H(ω)=I−2ωωT

第八講，矩陣的相似對角化

• 相似對角化
  和以前的知識點沒有變化

• 特徵子空間
  出現幾何重數和代數重數
  直觀上的理解 代數重數 是特徵值的幾次根例如 ( λ − 1 ) 3 (\lambda -1)^3 (λ−1)3 代數重數就是3
  幾何重數 是上面特徵值 1所對應的特徵向量有幾個是獨立的 （線性無關的）若是2 則幾何重數就是 2
  這樣一來就說明 幾何重數 <= 代數重數的
  幾何重數代表的都是真的向量 代數重數裡面包含有假（可以被別人表示的）的向量
  幾何重數為基礎解析的個數 = （n -r） 可以在空間中有多少個維度（方向）可以擴散

• 求解矩陣的相似對角化
  和前面知識一樣，求特徵值、求特徵向量、組成矩陣P、然後 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP =\Lambda P−1AP=Λ

第九講，Jordan標準型

• jordan標準型出現的原因；
  由於在上一章節 求相似對角化的時候，有重根的特徵值沒有那麼多對應的特徵向量，就構造不成矩陣 P，也就不能相似對角化成 對角陣的形式，
  於是就出現了Jordan標準型的形式，類似於P的功能。
  P − 1 A P = Λ → P − 1 A P = J P^{-1}AP =\Lambda \to P^{-1}AP =J P−1AP=Λ→P−1AP=J

• 行列式因子、不變因子與初等因子及其之間關係
  先寫出矩陣的特徵方程 A ( λ ) = λ I − A A(\lambda) =\lambda I - A A(λ)=λI−A

  1. 行列式因子：所有非0 K階子式的最大公因式，找出來就是對應的 D 1 ( λ ) 、 D 2 ( λ ) 、 D 3 ( λ ) … … D_1(\lambda)、D_2(\lambda)、D_3(\lambda)…… D1​(λ)、D2​(λ)、D3​(λ)……
  2. 不變因子 ： d 1 ( λ ) = D 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) = D 2 ( λ ) D 1 ( λ ) , d 3 ( λ ) = D 3 ( λ ) D 2 ( λ ) d_1(\lambda) =D_1(\lambda), d_2(\lambda) =\frac{D_2(\lambda)} {D_1(\lambda)}, d_3(\lambda) =\frac{D_3(\lambda)} {D_2(\lambda)} d1​(λ)=D1​(λ),d2​(λ)=D1​(λ)D2​(λ)​,d3​(λ)=D2​(λ)D3​(λ)​
  3. 初等因子 ：不變因子的作用是分解得到的，單獨的重複 也算作是不變因子。

• Jordan標準型的求解

  1. 求出A的所有初等因子
  2. 對每個初等因子寫出對應的Jordan塊矩陣
  3. 將Jordan塊寫成矩陣的形式，就組合成Jordan標準型

寫出初等因子之後，將其按順序寫成Jordan塊的形式，在將其組合成Jordan 標準型
到此結束！

第十講，過

第十一講，矩陣範數

• 向量範數
  目的：

  1. 在平面中，可以輕鬆的定義長度，但是當你到了線性空間的時候，定義不了空間的長度
  2. 引入範數的概念，來定義空間（賦線性空間）中的距離，長度概念，但是你定義不了夾角
  3. 引入內積空間（歐式空間），可以定義兩向量的夾角
     線性空間 > 賦線性空間 >內積空間
     注：賦線性空間是定義範數的線性空間

• 1、2、無窮範數
  若全部都等於1 的話
  1 範數就相當於 |x1| + |x2| =1 四條直線組成的菱形
  2 範數就相當於 x 1 2 + x 2 2 = 1 \sqrt{x1^2 + x2^2} =1 x12+x22 ​=1 單位圓
  無窮範數 就相當於 X中的最大數為1 是一個正方形，邊長為2的（-1，-1）（1，1）

• 矩陣範數

  1. 對任意的 A ⊂ C n x n A \subset C^{nxn} A⊂Cnxn,定義
     ∣ ∣ A ∣ ∣ F = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ 2 = T r ( A H A ) ||A||_F =\sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|^2 } =\sqrt{Tr(A^H A)} ∣∣A∣∣F​=i=1∑n​j=1∑n​∣aij​∣2 ​=Tr(AHA) ​
     F 範數相當於對矩陣中每個元素的模進行平方，求和，開方
     相當於矩陣的轉置 X 矩陣 所得到的trace 恰好是各元素的平方和，再進行開方
  2. M範數就是進行單純的各個元素的模進行相加，取最大

• 誘導範數
  出現目的：由於矩陣範數不好定義，利用誘導範數可以很好的進行定義
  例如常用的誘導範數：
  由1-範數、2-範數、無窮範數誘匯出的對應的矩陣運算元範數，分別稱為矩陣的1-範數、2-範數、無窮範數

• 矩陣範數

  1. 矩陣1-範數 ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ||A||_1 ∣∣A∣∣1​ 將矩陣A的每一列相加，取最大值
  2. 矩陣無窮-範數 ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ ||A||_\infty ∣∣A∣∣∞​ 將矩陣A的每一行相加，取最大值
  3. 矩陣2-範數 ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ||A||_2 ∣∣A∣∣2​ = λ \sqrt{\lambda} λ ​ λ \lambda λ是 A H A A^H A AHA的最大特徵值，再利用最大特徵值進行開方

• 譜與譜半徑
  用來描述矩陣的大小，
  就是在一堆的特徵值中，以原點為圓心，以離原點最遠的那個特徵值為半徑，進行劃圓，半徑就是譜半徑，將所有的特徵值都包含在裡面。
  若A是Hermite矩陣時，則有A的2-範數 = 譜半徑，通常是要大於它的