二叉樹

一、樹簡介

1. 樹

   樹是一種藉助於複雜節點結構完成的一種資料結構。
   樹（Tree）是n（n>=0)個結點的有限集。n=0時稱為空樹。在任意一顆非空樹中：

   • 有且僅有一個特定的稱為根（Root）的結點；
   • 當n>1時，其餘結點可分為m(m>0)個互不相交的有限集\(T_1\)、\(T_2\)、......、\(T_n\)，其中每一個集合本身又是一棵樹，並且稱為根的子樹。
   • 此外，樹的定義還需要強調：
     • n>0時根結點是唯一的，不可能存在多個根結點，資料結構中的樹只能有一個根結點。
     • m>0時，子樹的個數沒有限制，但它們一定是互不相交的。
   • 節點的度
     度就是說明本節點 具有的孩子節點的數目
     ，類似於圖演算法當中的出度和入度(degree).
   • 節點關係
     父親節點，孩子節點。
   • 樹深度
     先說明層的概念，從root開始為第一層，依次類推得到深度。
     深度為\(k\)的滿二叉樹，具有\(2^{k+1}-1\)個節點，也就是一個簡單的等比數列求和，不難理解。

二、二叉樹

1. 二叉樹是n(n>=0)個結點的有限集合，該集合或者為空集（稱為空二叉樹），或者由一個根結點和兩棵互不相交的、分別稱為根結點的左子樹和右子樹組成。

2. 性質

   1. 在二叉樹的第i層上最多有2i-1 個節點 。（i>=1）

   2. 二叉樹中如果深度為k,那麼最多有\(2^k-1\)個節點。(k>=1）

   3. \(n_0=n_2+1\)

      , \(n_0\)表示度數為0的節點數，\(n_2\)表示度數為2的節點數。

   4. 在完全二叉樹中，具有n個節點的完全二叉樹的深度為\(\lfloor {log_2n} \rfloor\)+1。

   5. 若對含 n 個結點的完全二叉樹從上到下且從左至右進行 1 至 n 的編號，則對完全二叉樹中任意一個編號為$ i$ 的結點有如下特性：

      (1) 若 i=1，則該結點是二叉樹的根，無雙親, 否則，編號為 \(\lfloor\frac{i}{2} \rfloor\)的結點為其雙親結點;
      (2) 若 \({2i}\gt{n}\)，則該結點無左孩子， 否則，編號為 2i 的結點為其左孩子結點；
      (3) 若\({2i+1}\gt{n}\)

      ，則該結點無右孩子結點， 否則，編號為2i+1 的結點為其右孩子結點。
      (目前還沒寫完）