0 1揹包（每個物品選一次）

有N件物品和一個容量是 M的揹包。每件物品只能使用一次。

第i件物品的體積是vi，價值是wi。

求解將哪些物品裝入揹包，可使這些物品的總體積不超過揹包容量，且總價值最大。
輸出最大價值。

輸入格式

第一行兩個整數，N，VN，V，用空格隔開，分別表示物品數量和揹包容積。

接下來有N行，每行兩個整數vi,wi，用空格隔開，分別表示第i件物品的體積和價值。

輸出格式

輸出一個整數，表示最大價值。

資料範圍

0<N,M≤1000
0<vi,wi≤1000

輸入樣例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

輸出樣例：

8

樸素做法：

思路：dp[i][j]表示前i個物品，體積為j的最優解。

對於第i個物品可選可不選。不選的dp[i][j]=dp[i-1][j];

選的話就是dp[i][j]=dp[i-1][j-v[i]]+w[i];為什麼呢，因為體積最大就只能是剛好，那麼前i-1個物品就要騰出空間給第i個物品，那前i個物品騰出的空間就是j-v[i];前提是j>=v[i],不然騰不出空間。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int v[MAXN]; // 重量 
int w[MAXN]; // 價值 
int f[MAXN][MAXN]; // f[i][j], j重量下前i個物品的最大價值
 


int main() 
{
int n, m; 
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++i) 
cin >> v[i] >> w[i];

for(int i = 1; i <= n; ++i) 
for(int j = 1; j <= m; ++j)
{

if(j <v[i]) 
f[i][j] = f[i-1][j];//太小了只能不選，

else //選的話，在選和不選中取max
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i]);
}

cout 
 
<< f[n][m];
return 0;
}

 

優化版：

思路：上面的程式碼中我們可以發現，f[i][j]的時候我們只用到了前面，我們只用到了f[i-1][j]或者f[i-1][j-v[i]，所以我們可以按順序列舉i，即for(int i = 1; i <= n; i++),就可以保證我們每次都是用前面一層，所以可以將二維陣列濃縮成一維陣列;

在發現如果只剩下一維陣列了，當我們不選的時候，f[i][j] = f[i-1][j]就變成了f[j]=f[j]，預設成立，這句就可以去掉了，所以我們可以直接從j>=w[i]列舉到m，但是我們發現f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i])這句話是第i層更新的，為什麼呢，因為j從v[i]開始列舉，j-v[i]就<j,就會將f[j]從小到大在第i層更新了一遍，就將前面第i-1層的結果給覆蓋掉了，所以我們選擇逆序，從m開始列舉到v[i]；即for(int j = m; j >= v[i]; j--)

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int v[MAXN]; // 重量
int w[MAXN]; // 價值
int f[MAXN];                                            //int f[MAXN][MAXN]; // f[i][j], j重量下前i個物品的最大價值

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = m; j >= v[i]; j--)                        // for(int j = 1; j <= m; ++j)
        {

                                                             //            if(j < w[i])
            //f[j]=f[j];                                    //                f[i][j] = f[i-1][j];//太小了只能不選，

            // else //選的話，在選和不選中取max
            f[j] = max(f[j], f[j-v[i]]+w[i]);               //  f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i]);
        }

    cout<<f[m]<<endl;                                        //cout << f[n][m];
    return 0;
}