Description

給定一張圖 \((n \le 1000, m \le 1000)\)，圖上有 \(k\) 對點 \((a_i,b_i)\) 表示有一個運輸專案從 \(a_i\) 運輸到 \(b_i\)。現在你可以選擇一條邊將它的權值變為零，要求最小化所有運輸專案的最短距離的和。

Solution

考慮將每條邊 \(e(u,v)\) 的權值變為 \(0\) 對結果的影響，對於運輸計劃 \((a,b)\)，其若不經過 \((u,v)\) 則為其原答案，要麼經過 \((u,v)\) 則答案為 \(\min(d_{a,u}+d_{v,b}, d_{a,v}+d_{u,b})\)，二者取最小值即可。

於是我們只需要預處理出所有點對之間的最短路，然後模擬上述過程即可。求所有點對最短路的過程可以用 Dijkstra 做到 \(O(nm \log n)\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;
#define reset(x) memset(x,0,sizeof x)
#define reset3f(x) memset(x,0x3f,sizeof x)
namespace sp {
vector<pair<int,int> > g[N];
int n,v0=1,d[N],v[N];
void make(int t1,int t2,int t3) {
    g[t1].push_back(make_pair(t2,t3));
}
void reset_graph() {
    for(int i=0;i<=n;i++) g[i].clear();
}
void solve() {
    priority_queue<pair<int,int> > qu;
    reset3f(d);reset(v);
    d[v0]=0;
    qu.push(make_pair(0,v0));
    while(qu.size()) {
        int p=qu.top().second,r=qu.top().first;
        qu.pop();
        if(r+d[p]) continue;
        for(int i=0;i<g[p].size();i++) {
            int q=g[p][i].first,w=g[p][i].second;
            if(d[q]>d[p]+w) {
                d[q]=d[p]+w;
                qu.push(make_pair(-d[q],q));
            }
        }
    }
}
}

struct edge {int u,v,w;} ed[N];
int n,m,k,t1,t2,t3,a[N],b[N],d[N][N];

void readdata()
{
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>t1>>t2>>t3;
        sp::make(t1,t2,t3);
        sp::make(t2,t1,t3);
        ed[i]={t1,t2,t3};
    }
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        cin>>a[i]>>b[i];
    }
}
void presolve()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        sp::v0=i;
        sp::solve();
        for(int j=1;j<=n;j++) d[i][j]=sp::d[j];
    }
}
void solve()
{
    int ans=1e18;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=ed[i].u,v=ed[i].v,w=ed[i].w;
        int tans=0;
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            tans+=min(d[a[j]][b[j]],min(d[a[j]][u]+d[v][b[j]], d[a[j]][v]+d[u][b[j]]));
        }
        ans=min(ans,tans);
    }
    cout<<ans<<endl;
}

signed main()
{
    readdata();
    presolve();
    solve();
    return 0;
}