LOJ6729. 點雙連通生成子圖計數 (集合冪級數)

基礎： 由子圖的集合冪級數取\(\ln\)可以得到連通子圖的集合冪級數，可以參考?

根據點雙連通的定義，我們先求得連通子圖的集合冪級數

然後考慮列舉每個節點\(i\)，把所有刪去\(i\)之後不連通的方案去掉

具體實現上，可以把所有包含\(i\)的項提出，刪除\(i\)之後取\(\ln\)得到連通的方案數，然後替換回去

每次取\(\ln\)的複雜度為\(O(n^22^n)\)，因此總複雜度為\(O(n^32^n)\)

常數優化：每次實際上只會修改包含\(i\)的項，不需要每次都把多項式莫比烏斯反演回去

剛開始進行一次莫比烏斯變換之後

每次可以直接從字首和的作差得到這一項 除了\(i\)

注意去掉\(i\)後，佔位數量\(-1\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
const int N=20,M=1<<18|3,P=998244353;
struct U{
	int x;
	U(){} U(int x):x(x){}
	inline void operator += (const U &t){ x+=t.x,x>=P&&(x-=P); }
	inline void operator -= (const U &t){ x-=t.x,x<0&&(x+=P); }
	inline U operator * (const U &t){ return U(static_cast<unsigned long long>(x)*t.x%P); }
} I[N],F[M][N],b[N];
int n,m,G[N],C[M],Pow[N*N];
void FWT(int f){
	for(int i=1;i<m;i<<=1) for(int l=0;l<m;l+=i*2) 
		for(int j=l;j<l+i;++j) if(f==1) rep(d,1,n) F[j+i][d]+=F[j][d];
		else rep(d,1,n) F[j+i][d]-=F[j][d];
}
void Ln(U *a){
	rep(i,0,n-1) {
		U t=0;
		rep(j,0,i-1) t+=b[j]*a[i-j];
		b[i]=a[i+1]*(i+1),b[i]-=t;
	}
	rep(i,1,n) a[i]=b[i-1]*I[i];
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int u,v;m--;) scanf("%d%d",&u,&v),u--,v--,G[u]|=1<<v,G[v]|=1<<u;
	m=1<<n,I[0]=I[1]=1;
	rep(i,1,m-1) C[i]=C[i&(i-1)]+1;
	rep(i,2,n) I[i]=U(P-P/i)*I[P%i];
	rep(i,Pow[0]=1,N*N-1) Pow[i]=Pow[i-1]*2%P;
	rep(i,1,m-1) {
		int c=0;
		rep(j,0,n-1) if(i&(1<<j)) c+=C[G[j]&i];
		F[i][C[i]]=Pow[c/2];
	}
	FWT(1);
	rep(i,1,m-1) Ln(F[i]);
    // 先取一次ln得到連通子圖的集合冪級數
	for(int i=1;i<m;i<<=1){
		for(int l=0;l<m;l+=i*2) {
			for(int j=l;j<l+i;++j) {
				rep(k,1,n) F[j+i][k]-=F[j][k]; // 字首和作差得到
				Ln(F[j+i]+1); // 取出自己後大小-1
				rep(k,1,n) F[j+i][k]+=F[j][k];
			}
		}
	}
	FWT(-1);
	printf("%d\n",F[m-1][n].x);
}