ARC107 遊記
ARC107 遊記
這場相比上次還算好吧，漲了一點分。
F 比賽時還是沒有想出來，網路流建模果然還是不太熟悉。
以後只寫 D,E,F 的題解算了，前三題就不寫了。
D Number of Multisets
題意簡述
詢問有多少個可重集 \(S\) 滿足 \(|S|=n\) 並且 \(S\) 中所有元素的和為 \(k\) 並且 \(S\) 中的元素都可以表示為 \(\frac{1}{2^x}(x\ge 0)\)
\(1\le k\le n\le 3000\) 。
題目分析
考慮 dp ，設 \(dp(i,j,t)\) 表示滿足 \(|S|=i\) 並且 \(S\) 中所有元素的和為 \(j\times \frac{1}{2^t}\) 並且 \(S\) 中的元素都可以表示為 \(\frac{1}{2^x}(x\ge t)\) 的可重集 \(S\) 的數量，不難發現， \(dp(i,j,t)\) 的值其實和 \(t\) 無關，所以我們可以把 \(t\) 這一維去掉，只設 \(dp(i,j)\) 。
轉移可以列舉有多少個元素是 \(\frac{1}{2^t}\)
另一種轉移方法，看是否存在一個元素 \(\frac{1}{2^t}\) ：
\[dp(i,j)=dp(i-1,j-1)+dp(i,j\times 2) \]使用第二種轉移方法，時間複雜度 \(\mathcal O(nk)\) ，當然可以通過推式子的方式由第一種轉移方法推出第二種轉移方法。
參考程式碼
#include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; #define ch() getchar() #define pc(x) putchar(x) template<typename T>inline void read(T&x){ int f;char c; for(f=1,c=ch();c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f; for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f; } template<typename T>inline void write(T x){ static char q[64];int cnt=0; if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x; while(x)q[cnt++]=x%10+'0',x/=10; while(cnt--)pc(q[cnt]); } const int maxn=3005,mod=998244353; int mo(const int x){ return x>=mod?x-mod:x; } int dp[maxn][maxn]; int main(){ int n,k;read(n),read(k); dp[0][0]=1; for(int i=1;i<=n;++i){ for(int j=i;j>=1;--j){ dp[i][j]=mo(dp[i-1][j-1]+(j*2<=i?dp[i][j*2]:0)); } } write(dp[n][k]),pc('\n'); return 0; }
E Mex Mat
比賽時被這題卡了好久，好在最後想出來了。
題意簡述
\(n\times n\) 的矩陣 \(a\) ，其中的每個數的取值為 \(\{0,1,2\}\) ，矩陣滿足 \(a_{x,y}=\mbox{mex}(a_{x-1,y},a_{x,y-1})(x\ge 2,y\ge 2)\) ，現在給出 \(a_{1,i}\) 和 \(a_{i,1}\) ，詢問整個矩陣中 \(0,1,2\) 的出現次數。
\(1\le n\le 5\times 10^5\) 。
題目分析
如果 \(a_{x,y}=0\) ，那麼 \(a_{x+1,y}\) 和 \(a_{x,y+1}\) 就非 \(0\) ，那麼 \(a_{x+1,y+1}=0\) ，所以一個 \(0\) 會沿斜線傳遞下去。
如果兩個 \(0\) 相鄰 1 ，那麼就會變成這樣：
0 0
010
010
010
010
...
如果兩個 \(0\) 相鄰 2 ，那麼就會變成這樣：
0 20
0120
0120
0120
0120
0120
....
或者這樣：
0 10
0210
0210
0210
0210
0210
....
兩個 \(0\) 在執行了若干步後要麼相鄰 \(1\) 要麼相鄰 \(2\) ，所以在執行若干步後必然滿足 \(a_{x+1,y+1}=a_{x,y}\) ，所以我們就可以先往下往右遞推出前若干步，然後就可以直接計算了。
我的程式選擇了遞推前 \(10\) 行和前 \(10\) 列，官方題解好像是遞推了前 \(4\) 行，好像是說枚舉了前 \(4\) 行的所有情況就能發現必然有 \(a_{5,5}=a_{4,4}\) 。
參考程式碼
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ch() getchar()
#define pc(x) putchar(x)
template<typename T>inline void read(T&x){
int f;char c;
for(f=1,c=ch();c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f;
for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
template<typename T>inline void write(T x){
static char q[64];int cnt=0;
if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x;
while(x)q[cnt++]=x%10+'0',x/=10;
while(cnt--)pc(q[cnt]);
}
const int maxn=500005;
long long cnt[3];
int Ma[3][3]={{1,2,1},{2,0,0},{1,0,0}};
int A[maxn],B[maxn];
int main(){
int n;read(n);
for(int i=1;i<=n;++i)read(A[i]),++cnt[A[i]];
for(int i=2;i<=n;++i)read(B[i]),++cnt[B[i]];
if(n<=10){
for(int i=2;i<=n;++i){
A[i-1]=B[i];
for(int j=i;j<=n;++j)
++cnt[A[j]=Ma[A[j]][A[j-1]]];
B[i]=A[i];
for(int j=i+1;j<=n;++j)
++cnt[B[j]=Ma[B[j]][B[j-1]]];
}
}
else{
for(int i=2;i<=10;++i){
A[i-1]=B[i];
for(int j=i;j<=n;++j)
++cnt[A[j]=Ma[A[j]][A[j-1]]];
B[i]=A[i];
for(int j=i+1;j<=n;++j)
++cnt[B[j]=Ma[B[j]][B[j-1]]];
}
for(int i=10;i<=n;++i)
cnt[A[i]]+=n-i;
for(int i=11;i<=n;++i)
cnt[B[i]]+=n-i;
}
write(cnt[0]),pc(' '),write(cnt[1]),pc(' '),write(cnt[2]),pc('\n');
return 0;
}
F Sum of Abs
題意簡述
\(n\) 個點 \(m\) 條邊的無向圖，你可以花費 \(A_i\) 的代價刪除 \(i\) 點，最終你的收益是所有連通塊 \(B_i\) 的和的絕對值之和，請最大化收益減代價和。
\(1\le n,m\le 300,1\le A_i\le 10^6,-10^6\le B_i\le 10^6\) 。
題目分析
資料範圍極力暗示網路流，問題就是如何建模。
假如 \(S\) 中的點構成了一個連通塊，那麼最後對收益的貢獻就是 \(\max(\sum_{u\in S}B_u,-\sum_{u\in S}B_u)=\max(\sum_{u\in S}B_u,\sum_{u\in S}(-B_u))\) ，也就是說，在同一個連通塊中的點的 \(B_i\) 對答案造成貢獻時乘以的係數是相同的，即乘以 \(1\) 或者 \(-1\) 。
每個點有三種選擇：刪除（給答案貢獻 \(-A_i\) ），給答案貢獻 \(B_i\) 、給答案貢獻 \(-B_i\) 。三選一模式，考慮使用最小割模型，將點 \(u\) 拆成兩個點 \(u_0,u_1\) ，然後連邊方法是 \(S\to u_0\to u_1\to T\) ，割掉 \(S\to u_0\) 表示給答案貢獻 \(B_i\) ，割掉 \(u_0\to u_1\) 表示刪除點 \(u\) （給答案貢獻 \(-A_i\) ），割掉 \(u_1\to T\) 表示給答案貢獻 \(-B_i\) ，這樣的話在同一個連通塊裡的點必須選擇在同一側，即要麼都和 \(S\) 相連要麼都和 \(T\) 相連。
連邊是這樣的： \(S\to u_0\) 流量為 \(-B_i\) ， \(u_0\to u_1\) 流量為 \(A_i\) ， \(u_1\to T\) 流量為 \(B_i\) 。由於流量不能為負數，所以三條邊流量和答案需要集體加上 \(\mbox{abs}(B_i)\) 。
如果在原圖中 \(u,v\) 有連邊，說明 \(u,v\) 必須要在同一邊，也就是不能同時滿足割掉 \(S\to u_0\) 並且割掉 \(v_1\to T\) （此時相當於保留了 \(u_0\to u_1\to T\) 和 \(S\to v_0\to v_1\) ），或者不能同時滿足割掉 \(u_1\to T\) 並且割掉 \(S\to v_0\) （此時相當於保留了 \(S\to u_0\to u_1\) 和 \(v_0\to v_1\to T\) ），所以 \(v_1\to u_0\) 流量 \(\infty\) ， \(u_1\to v_0\) 流量 \(\infty\) 。
參考程式碼
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
#define ch() getchar()
#define pc(x) putchar(x)
template<typename T>inline void read(T&x){
int f;char c;
for(f=1,c=ch();c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f;
for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
template<typename T>inline void write(T x){
static char q[64];int cnt=0;
if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x;
while(x)q[cnt++]=x%10+'0',x/=10;
while(cnt--)pc(q[cnt]);
}
const int maxn=305,maxm=305;
struct Edge{
int v,w,nt;
Edge(int v=0,int w=0,int nt=0):
v(v),w(w),nt(nt){}
}e[maxm*4+maxn*4];
int hd[maxn*2],num=1;
void qwq(int u,int v,int w){
e[++num]=Edge(v,w,hd[u]),hd[u]=num;
}
void qvq(int u,int v,int w){
qwq(u,v,w);qwq(v,u,0);
}
int S=0,T=1,dis[maxn*2],q[maxn*2];
int bfs(void){
memset(dis,0,sizeof dis);
int fro=0,bac=0;dis[q[bac++]=S]=1;
while(fro<bac){
int u=q[fro++];
for(int i=hd[u];i;i=e[i].nt){
int v=e[i].v,w=e[i].w;
if(w&&!dis[v]){
dis[q[bac++]=v]=dis[u]+1;
}
}
}
return dis[T];
}
int cur[maxn*2];
int dfs(int u,int ep){
if(u==T)return ep;int re=0;
for(int&i=cur[u];i;i=e[i].nt){
int v=e[i].v,w=e[i].w;
if(w&&dis[v]==dis[u]+1){
int tmp=dfs(v,min(ep,w));
re+=tmp;ep-=tmp;
e[i].w-=tmp;e[i^1].w+=tmp;
if(!ep)break;
}
}
return re;
}
int dinic(void){
int re=0;
while(bfs()){
memcpy(cur,hd,sizeof hd);
re+=dfs(S,inf);
}
return re;
}
int A[maxn],B[maxn];
int main(){
int n,m;read(n),read(m);
for(int i=1;i<=n;++i)read(A[i]);
for(int i=1;i<=n;++i)read(B[i]);
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
int a=A[i],b=B[i];
if(b<0)ans-=b,qvq(S,i*2 ,-2*b),qvq(i*2,i*2+1,a-b);
else ans+=b,qvq(i*2+1,T, 2*b),qvq(i*2,i*2+1,a+b);
}
for(int i=1;i<=m;++i){
int u,v;
read(u),read(v);
qvq(u*2+1,v*2,inf);
qvq(v*2+1,u*2,inf);
}
write(ans-dinic()),pc('\n');
return 0;
}
總結
前幾天還搞了圖論來著，結果 F 網路流建模還是沒有獨立想出來，自己的思維建模能力還是不夠啊。